Aula 07 Ângulos Na Circunferência

Polos Olímpicos de Treinamento
Curso de Geometria - Nível 2

Aula

7

Prof. Cícero Thiago

ˆ
Angulos
na circunferˆ encia Defini¸ c˜ ao 1: O ˆ angulo inscrito relativo a uma circunferˆencia ´e um ˆangulo que tem o v´ertice na circunferˆencia e os lados s˜ ao secantes a ela.

A

P

O

B

Assim, ∠AP B ´e o ˆ angulo inscrito e ∠AOB ´e o ˆangulo central que ´e igual `a medida do arco, que n˜ ao cont´em P , determinado na circunferˆencia pelos pontos A e B.
Teorema 1. Um ˆ angulo inscrito ´e metade do ˆangulo central correspondente.
Demonstra¸c˜
ao. A prova ser´ a dividida em trˆes casos.
◦
1 caso:
O triˆ angulo OBC ´e is´ osceles e, com isso, ∠OBC = ∠OCB . Ent˜ao, ∠AOC = ∠OBC +
∠OCB = 2∠OBC (propriedade do ˆ angulo externo).

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C

B

α

α
2α

O

A

2◦ caso:
Pelo 1◦ caso temos que ∠AOC = 2∠ABC e ∠AOD = 2∠ABD. Portanto, ∠COD =
2∠CBD.

C

B

α

α

β

2α

O

2β

β

A
D

3◦ caso:
Pelo 1◦ caso temos que ∠EOD = 2∠ECD, ent˜ao 2α + 2θ = 2 · (α + β) ⇔ θ = β. Portanto,
∠AOD = 2∠ACD.

2

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C

α β
O
D

2θ
2α α
E
A

Defini¸ c˜ ao 2: Dizemos que uma reta ´e tangente a uma circunferˆencia se essa reta intersecta a circunferˆencia em um u
´nico ponto.
Teorema 2. Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferˆencia ´e tangente `a circunferˆencia.
Demonstra¸c˜
ao.

r
A
B

O

Suponha que OA ⊥ r mas r n˜ ao ´e tangente `a circunferˆencia, e seja B = A o segundo ponto de interse¸c˜ ao. Isso ´e um absurdo pois o triˆ agulo OAB seria is´ osceles, pois OA = OB
(raio da circunferˆencia), com os ˆ angulos da base iguais a 90◦ . Portanto, r ´e tangente `a circunferˆencia. Teorema 3. Toda tangente a uma circunferˆencia ´e perpendicular ao raio no ponto de tangˆencia. Demonstra¸c˜ ao. 3

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B

r

A

O

Seja A o ponto de tangencia. Qualquer ponto de r est´ a a uma distˆ ancia maior do que A
do