Aula 0

28/08/2014

Funções

Introdução a Cálculo I

FUNÇÕES

Definição. Sejam A e B subconjuntos de ℝ. Uma função f: A → B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B.
O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por D(f) ou Df.
B é chamado de contra-domínio ou campo de valores de f.
1–1

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Escrevemos:

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f: A ⟶ B x ⟼ f(x)

Ou
A⟶B
x ⟼ y = f(x) f 1–2

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Definição:
Seja f: A ⟶ B.
i. Dado x ∈ A, o elemento f(x) ∈ B é chamado de valor da função f no ponto x ou de imagem de x por f; ii. O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é denotado por Im(f).

1–3

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1

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Exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = Z (conjunto dos inteiros) e f: A ⟶ B definido pela regra que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro. Então:
- a regra que define f é y = 2x;
- a imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4 etc.;
- o domínio de f, D(f) = A;
- a imagem de f, Im(f) = {2, 4, 6, 8, 10}.
1–4

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Exemplo:
Seja f: ℝ ⟶ ℝ x ⟼ x2

Então: D(f) = ℝ;
Im(f) = [0, +∞).

Quando trabalhamos com subconjuntos de ℝ, é usual caracterizar a função apenas pela fórmula ou regra que a define. Neste caso, entende-se que o domínio de f é o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida. 1–5

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Exemplos
Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo: i. f(x) = ; ii. f(x) = ; iii. f(x) = − iv. f(x) = |x|.

1–6

−1

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2

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Gráficos
Definição:
Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f.
Exemplos
(i) O gráfico da função f(x) = x2 consiste em todos os pares (x, y) ∈ ℝ2 tais que y = x2 .