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O CONCEITO DE DERIVADA

O conceito de derivada está relacionado á taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se fax necessária em um determinado momento. Para entendermos como se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de uma função em um ponto: Definição: se uma função f é determinada em um intervalo aberto contendo x₀, então a derivada de f em x₀, denotada por f’ (x₀), é dada por: se este limite existir. ∆x representa uma pequena variação em x, próximo de x₀, ou seja, tomando x = x₀ + ∆x (∆x = x - x₀), a derivada de f em x₀ pode também se expressa por

TAXAS DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA
As taxas de variação ocorrem em muitas aplicações praticas:
Em geral, se x e y forem quantidades relacionadas por uma equação y=f(x), pode-se considerar a taxa segundo a qual y varia com x.
Há distinção entre taxa media de variação, representada pela inclinação da reta secante, e taxa instantânea de variação, representada pela inclinação da reta tangente.
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Se x variar x₀ para x₁, então a variação de x (também chamada de incremento de x) é:
∆x = x₁ - x₀ e a variação corresponde de y é:
∆y = f(x₁) – f(x₀)
O quociente de diferenças:
É denominado de taxa media de variação de y em relação a x no intervalo e pode ser interpretado como a inclinação da reta secante (reta que intersecta 2 pontos de uma curva).
TAXA (INSTANTÂNEA) DE VARIAÇÃO
Considerando a taxa média de variação em intervalos cada vez menores fazendo x₁ tender a x₀ e, portanto,