APS Cálculo

Lista de Exercícios - Prof. Marcelo Paraná

CÁLCULO II - Funções de várias variáveis
1) Representar graficamente em R3, num sistema ortogonal, os seguintes pontos:
a) (0, 0, 1)
b) (1, 1, 1)
c) (1, 2, 3)
d) (0, 1, 0)
2) Determine o domínio das funções de duas variáveis dadas abaixo. x+ y x−3 a) z =
b) z =
c) z = − x 2 + 5 x − 4 − 3 y − y 2 x− y y+4 1 1
d) z = +
e) z = ln[ y − 3 x ] x y
3) Descreva as curvas de nível para as cotas 1, 2 e 3.
1
x
a) z =
b) z = x. y
c) z =
d) z = 16 − x 2 − y 2
2
2 y 16 − x − y
4) Dadas as funções determine as derivadas parciais indicadas para f(x,y) : fx(x,y) e fy(x,y) e para f(x,y,z): fx(x,y,z), fy(x,y,z) e fz(x,y,z) a ) f ( x, y ) = 6 x + 3 y − 7

b) f ( x, y ) = 4 x 2 − 3 xy

c) f ( x, y ) = 3 xy + 6 x − y 2

d ) f ( x, y ) = xy 2 − 5 y + 6

e) f ( x, y ) = x 2 + y 2

f ) f ( x, y ) =

g ) f ( x, y, z ) = x 2 y − 3 xy 2 + 2 yz i ) f ( x, y , z ) = ( x 2 + y 2 + z 2 )

−1

x + 2y x2 − y

h) f ( x, y, z ) = 4 xyz + ln (2 xyz ) j ) f ( x, y, z ) = e xyz + tg −1

2

3 xy z2 5) Dadas as funções determine as derivadas parciais indicadas.

a ) f (θ , φ ) = sen 3θ . cos 2φ , fθ e fφ
b) f (r , θ ) = r 2 cos θ − 2r. tgθ , f r e fθ
c) f (r , θ , φ ) = 4r 2 sen θ + 5er cos θ . sen φ − 2 cos φ , f r , fθ e fφ

π

d ) f (r , θ ) = r tg θ − r 2 sen θ , f r  2 ; 
4

e) f ( x, y, z ) = e xy + ln ( y + z ), f x (3; 0;17), f y (1; 0; 2) e f z (0; 0;1)
2

6) Dada a função w = f(x,y,z) , mostre que a igualdade é válida a ) f ( x, y , z ) = x 2 y + yz 2 + z 3 ;
x. f x ( x, y , z ) + y. f y ( x, y , z ) + z. f z ( x, y , z ) = 3 f ( x, y , z )

b ) w = x 2 y + y 2 z + z 2 x;

∂w ∂w ∂w
+
+
= ( x + y + z) 2
∂x ∂y ∂ z
1

7) Determine as derivadas parciais indicadas, usando a regra da cadeia

∂u
∂r
∂u
b) u = 3x − 4 y 2 ; x = 5rs ; y = 3r 2 − 2s ,
∂r
a) u = x 2 − y 2 , x = 3r − s ; y = r + 2s ;

∂u
∂s
∂u
,
∂s

,

∂u ∂u
,
∂r ∂s
∂u ∂u
,
d ) u =