Apostila De LIMITE E DERIVADA

1. LIMITE
Nosso objetivo é desenvolver uma linguagem que nos permita descrever o comportamento dos valores de uma função f nas proximidades de um ponto b.

Exemplo: Seja f(x) = 1 / x, temos: x 0,0001 0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000 10000 100000 
1/x 10.000 1.000
100
10
1
0,1
0,01
0,001 0,0001 0,00001 0
À medida que o valor de x vai aumentando, o valor de 1/x vai cada vez mais se aproximando de zero, indicamos esse fato por:

lim 1 = 0 (limite de 1/x quando x tende a mais infinito é zero).

x  

x

+  (mais infinito) não é um número; é um símbolo usado para indicar que um valor cresce indefinidamente.Seja uma função real definida para todo numero real em algum intervalo aberto contendo, exceto possivelmente no próprio “a”. O limite de f(x) quando x tende a “a” será L, o que denotamos por lim f ( x)  L se dado ξ>0, existe δ>0 tal que x a

se |x-a|<δ então |f(x)-L|<ξ.

Graficamente:

Para uma grande parte das funções temos que lim f ( x)  f (a) x a

Exemplo: lim 5  5  f (10) x 10

lim 2 x  1  13  f (7) x 7

Agora, se f(x) não está definida em x=a, fatoramos f(x) ou observamos os valores desta quando x se aproxima de “a”por valores menores que “a” e por valores maiores que “a”.

Exemplo: Seja f ( x) 

2 x²  x  3
Dom(f)=R- 1 observando as tabelas x 1

x

0,9

0,99

0,999

0,9999

f(x)

4,8

4,98

4,998

4,9998

( x<1)

x

1,1

1,01

1,001

1,0001

f(x)

5,2

5,02

5,002

5,0002

( x>1)

Concluímos, tanto para x<1 como para x>1 que : lim f ( x)  5 x 1

Exemplo: Seja f ( x) 

x²  5x  6
Dom(f)=R- 2 x2 Fatorando f(x) obtemos:

x²  5 x  6 x  3
. x  2

 x 3
x  2 x2 lim f ( x)  lim x  3  1 x 2

x 2

No 1º exemplo calculamos o limite de uma função quando x tende a um certo valor “a” pela esquerda, que denotamos por

lim f ( x)

x a 

e quando x tende a “a” pela direita denotamos por

lim f ( x)

x a 

Estes limites recebem o nome de limites laterais e

lim f ( x)  L se e só se lim f ( x) = lim f ( x) =L x a

x a

x