Apostila de derivadas

DERIVADAS FUNDAMENTAIS
Vamos estudar algumas regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função f(x) . A demonstração dessas regras pode ser feita com a aplicação da definição . Vejamos algumas derivadas fundamentais:

Derivada da função constante

Se “c” é uma função constante e f(x) = c, para todo “x” real, então f’(x) = 0 f(x) = c ( f’(x) = 0
Exemplos:
f(x) = 8 ( f´(x) = 0 ; f(x) = [pic] ( f´(x) = 0 ; f(x) = [pic] ( f´(x)= 0

Derivada da função potência

Se f(x) = xn, com “n” ( R , então f’(x) = n . x n - 1

Fórmula: f(x) = xn ( f’(x) = n . xn - 1

Exemplos: f(x) = x ( f’(x) = 1. x1 - 1 = 1.x x0 = 1 f(x) =x7 ( f’(x) = 7.x7 – 1 = 7 x6 - f(x) = x- 4 ( f’(x) = - 4.x- 4 - 1 = -4 x- 5 ( f’(x) = [pic]
- f(x) = x[pic]( f’(x) =[pic]. x[pic]( f’(x) =[pic]. x[pic]( f’(x) =[pic] ( f’(x) =[pic]
- f(x) = [pic]( f(x) = x[pic]( f’(x) = [pic]. x[pic]( f’(x) = [pic]. x[pic] ( f’(x) = [pic] ( f’(x) =[pic]-
- f(x) =[pic] ( f(x) = x–3 ( f’(x) = -3.x–3-1 ( f’(x) = -3.x–4 ( f’(x) = [pic]

Derivada do produto de uma constante por uma potência

Se g(x) = c . f(x), com “c” igual a uma constante e f(x) derivável, então

g’(x) = c . f’(x)

Exemplos: - g(x) = 5x3 ( g’(x) = 5.3. x3 - 1 = 15 x2 - f(x) = [pic] ( g’(x) = [pic] ( g’(x) = [pic]

Propriedades Operatórias

Sejam u(x) e v(x) duas funções tais que u’(x) e v’(x) exista; então são válidas as seguintes propriedades:

a) Derivada da soma e da diferença de funções Se f(x) = u(x) + v(x), então f’(x) = u’(x) + v’(x)
De modo análogo tem-se que se: Se f(x) = u(x) - v(x), então f’(x) = u’(x) - v’(x) (F)

Donde se conclui que:
“Se as funções u(x) e v(x) são deriváveis, a derivada da soma ou da diferença é igual à soma ou à diferença das derivadas de cada uma das funções”

Vejamos alguns exemplos:
1) Dada a função: f(x) = 3x4 +