apostila arnaldo

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV

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- Reforço Suplementar -

- Curso de Engenharia de Computação SUPERFÍCIES : CILÍNDRICAS , ESFÉRICAS E QUÁDRICAS
1. Cilindros e superfícies de revolução .
Entendemos como superfície de revolução aquela obtida pela rotação de uma dada curva C em torno de um eixo fixo, denominado eixo de rotação . Portanto, uma superfície cônica de revolução é aquela gerada pela rotação parcial de duas retas concorrentes em torno de uma das bissetrizes ; uma superfície esférica é obtida pela rotação completa de um semicírculo em torno do diâmetro. Cumpre ressaltar que o eixo de rotação não deve ter, necessariamente, pontos comuns com a curva C : uma superfície cilíndrica de revolução, por exemplo, não intercepta seu eixo de rotação .
Z

geratriz

Z

geratriz

superfície cônica de revolução

r

r

eixo de rotação

Y
X

Y

x² + y² = r² : superfície cilíndrica de revolução

geratriz
X

y² + z² = r² : superfície cilíndrica de revolução

eixo de rotação Superfícies cilíndricas . Uma superfície cilíndrica é aquela constituída por todas as retas paralelas (geratrizes) a uma reta dada e que passam por uma curva plana (diretriz) também conhecida .
- A curva plana C denomina-se traço da superfície cilíndrica no plano considerado .

Z

Curva plana C : diretriz (situada no plano XOY)
Reta PQ : geratriz (paralela ao eixo OZ)
Equação da superfície cilíndrica em ℝ³ : y = f(x)

Q(x,y,z)

Mutatis mutandis, se variarmos as posições dos eixos :
O

Curva plana C : diretriz (situada no plano XOZ)
Reta PQ : geratriz (paralela ao eixo OY)
Equação da superfície cilíndrica em ℝ³ : z = g(x)

Y retas paralelas
(geratrizes)

y = f(x) : superfície cilíndrica em ℝ³

P(x,y,0)

Curva plana C : diretriz (situada no plano YOZ)
Reta PQ : geratriz (paralela ao eixo OX)
Equação da superfície cilíndrica em ℝ³ : z = h(y)

X

C : y = f(x) curva plana dada
Analogamente, podemos tratar : x = (y) , x = (z)