Aplicações de Derivadas

CENTRO UNIVERSITÁRIO PADRE ANCHIETA

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

APLICAÇÕES DE DERIVADAS

JUNDIAI-SP PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR EXTREMOS RELATIVOS(O TESTE DA 1ª DERIVADA) 1º Determine os pontos críticos de f.
2º Determine o sinal de f’(x) à esquerda e à direita de cada ponto crítico.
A) Se f’(x) muda o sinal de positivo para negativo quando nos movemos através do ponto crítico x=c, então f’(x) é um máximo relativo.
B) Se f’(x) muda o sinal de negativo para positivo quando nos movemos através do ponto crítico x=c, então f’(x) é um mínimo relativo.
C) Se f’(x) não muda de sinal quando nos movemos através do ponto crítico x=c, então f’(x) não é um extremo.
EXEMPLO
Encontre os máximos e mínimos relativos da função f(x)=x3-3x2-24x+32
RESOLUÇÃO
Aderivada de f é f’(x)=3x2-6x-24 = 3(x+2).(x-4) e é continua em toda parte. Os zeros de f’(x), x=2 e x=4 para um extremo relativo usando o teste da primeira derivada e o diagrama de sinais para f’: DIAGRAMA DE SINAIS PARA f’
1º O ponto crítico x=-2: Uma vez que a função f’(x) muda o sinal de positivo para negativo quando passamos por x=-2 da esquerda para a direita, concluímos que um máximo relativo de f ocorre. O valor de f(x) quando x=-2 é:
F(-2)=(-2)3-3(-2)2-24(-2)+32 = 60
2º O ponto crítico x=4: f(x) muda de sinal de negativo para positivo quando passamos por x=4 da esquerda para direita; Logo, f(4)=-48 é um mínimo relativo de f.
O gráfico de f na figura abaixo: APLICAÇÃO
A função lucro da companhia ACROSONIC é dada por: p(x)=-0,02x2+300x-200.000 dólares, onde x é o numero de sistemas de som acrosonic modelo F produzidos. Encontre onde a função é crescente e onde é decrescente.
RESOLUÇÃO
A derivada p’ da função é:
P’(x)=-0,04x+300 = -0,04(x-7500)
Logo, p’(x)=0 quando x=7500. Além disso, p’(x)>0 para x no intervalo (0,7500) e