Aplicações de derivadas

Terceira Parte

ALGUMAS APLICAÇÕES DE DERIVADAS

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Capítulo 11 – Exame do comportamento de uma função por meio da derivada

Introdução
A função derivada, f  , está intimamente relacionada com a função f. Dizemos, por exemplo, que f  é a derivada de f e que f uma função primitiva de f  . Assim, podemos esperar que ter informações a respeito de f  nos permite ter também informações sobre a função f . Muitas das aplicações que poderemos fazer do Cálculo dependerão de nossa capacidade de analisar a derivada f  e, a partir das informações colhidas nessa análise, tirar conclusões sobre a função primitiva f .
Neste capítulo, investigaremos como usar a derivada primeira e a derivada segunda para analisar o comportamento de uma função.
11.1 O que f  nos diz a respeito de f
A derivada f  nos diz se a função primitiva f está crescendo ou decrescendo. Também nos diz em que ponto a função f para de crescer e começa a decrescer e vice-versa.
Vamos observar os gráficos que estão na Figura 11.1

Figura 11.1

No gráfico da esquerda, A é um ponto crítico da função f ; antes de A , a inclinação do gráfico é negativa e, por isso, a função f é decrescente; depois de A, a inclinação do gráfico é positiva e, portanto, a função f é crescente. No ponto A, ocorre uma mudança brusca na inclinação do gráfico: ela pula de um valor muito grande para um valor próximo de zero; isso quer dizer que f   A  não está definida ou não existe.
Podemos registrar essas observações, feitas no gráfico, por meio da Tabela 11.1.

Tabela 11.1

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De modo semelhante, no gráfico da direita, D é um ponto crítico da função f ; antes de
D, a inclinação do gráfico é negativa, quer dizer que a função f é decrescente; depois de D, a inclinação do gráfico é positiva, significa que a função f é crescente. No ponto
D, a inclinação do gráfico é zero, ou seja, f   D   0 .
Podemos apresentar os resultados, colhidos nas observações feitas no gráfico, como indicado na