angulos internos de um poligono convexo

Ângulos internos de um polígono convexo .

Um polígono convexo é aquele em que se pegarmos dois pontos quaisquer pertencentes ao polígono e traçarmos uma reta entre esses dois pontos, toda essa reta deve pertencer também ao polígono.
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende da quantidade de lados que esse polígono possui; já a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é uma constante e vale 360∘.
Ângulos Internos

Definição 1: Ângulo interno de um polígono é o ângulo formado por dois de seus lados, que seja interno ao polígono.

Teorema 1: A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de N lados é dada pela fórmula:
Sα=(N−2)⋅180∘(1)
Onde:
Sα é soma dos ângulos internos;
N é o número de lados do polígono.
Demonstração: Tomando um polígono convexo, para N>3, podemos decompô-lo em triângulos, traçando diagonais a partir de um vértice qualquer:

Vejam que há uma relação entre o número de lados do polígono e a quantidade de triângulos em que podemos decompô-lo:

Como soma das medidas dos ângulo internos de um polígono é igual à soma das medidas dos ângulos internos de todos os N−2 triângulos que o compõe, e como a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é igual a 180∘, temos:
Sα=(N−2)⋅180∘(2)
Uma consequência direta desse resultado é a determinação do ângulo interno de um polígono regular, dado por: α=(N−2)⋅180∘N(3) Onde α é a medida de cada ângulo interno de um polígono regular de N lados.
Ângulos Externos

Definição 2: Ângulo externo de um polígono é aquele suplementar ao ângulo interno em um dado vértice, formado pelo prolongamento de um dos lados e o lado adjacente.

Teorema 2: A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de N lados é igual a 180∘:
Sβ=β1,β2,β3,⋯,βN=360∘(4)
Onde:
∙ βN é o ângulo externo do polígono;
∙ Sβ é a soma dos ângulos externos.