Analiser6

˜ de func¸ao
˜ cont´ınua
A noc¸ao

Parte 6
˜
Func¸oes cont´ınuas 1.

˜ de func¸ao
˜ cont´ınua
A noc¸ao

˜ 1.1 Dizemos que uma func¸ao
˜ f : X −→ R e´ cont´ınua no ponto
Definic¸ao
a ∈ X, quando para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que |f(x) − f(a)| < ε para todo x ∈ X, |x − a| < ε.
´
Simbolicamente, f : X −→ R e´ cont´ınua no ponto a se, e somente se: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ; x ∈ X , |x − a| < δ =⇒ |f(x) − f(a)| < ε

˜ 1.1 Em termos de intervalos, temos que f e´ cont´ınua no
Observac¸ao
ponto a se, e so´ se:
• ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ; f(I ∩ X) ⊂ J, onde I = (a − δ, a + δ) e J = (f(a) − ε, f(a) + ε) . ou • Para todo intervalo aberto J contendo f(a) existe um intervalo aberto I contendo a tal que f(I ∩ X) ⊂ J.

˜ 1.2 Dizemos que uma func¸ao
˜ f : X −→ R e´ cont´ınua quando
Definic¸ao
e´ cont´ınua em todos os pontos de X.

˜ 1.2 Se a e´ um ponto isolado de X, entao
˜ toda func¸ao
˜
Observac¸ao f : X −→ R e´ cont´ınua no ponto a.
De fato, seja δ0 > 0 tal que (a − δ0 , a + δ0 ) ∩ X = {a}.

´
Instituto de Matematica
- UFF

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Analise
na Reta

˜ dado ε > 0, existe δ = δ0 > 0, tal que |f(x) − f(a)| < ε para todo
Entao,
x ∈ X ∩ (a − δ0 , a + δ0 ) = {a}.
˜ isolados, entao
˜ toda func¸ao
˜
Em particular, se todos os pontos de X sao f : X −→ R e´ cont´ınua.

˜ 1.3 Seja a ∈ X ∩ X . Entao
˜ f e´ cont´ınua no ponto a se, e
Observac¸ao
so´ se, lim f(x) = f(a). x→a ˜ se a ∈ X , temos que lim f(x) = L se, e so´ se, a func¸ao
˜
Entao, x→a 
f(x), se x ∈ X − {a} g : X ∪ {a} −→ R dada por g(x) =
L,
se x = a e´ cont´ınua no ponto a.

˜ 1.4 Sejam Y ⊂ X e f : X −→ R. Se f e´ cont´ınua num ponto
Observac¸ao
˜ f|Y e´ cont´ınua no ponto a. Mas a rec´ıproca nao
˜ e´ verdadeira. a ∈ Y, entao
Basta tomar f descont´ınua no ponto a e Y ⊂ X finito ou discreto com a ∈ Y.
˜ f : Z −→ R e´ cont´ınua, pois todo ponto de Z
Exemplo 1.1 Toda func¸ao e´ isolado, ou seja, Z e´ um conjunto discreto.
1 1
2 3

˜ toda func¸ao
˜ f : 1, , , . . . ,
Pela mesma razao,

1
...
n

−→ R e´ cont´ınua.

1 1
2 3

1
˜ f : Y −→