analise

˜
A derivada de uma func¸ao

Parte 7
Derivadas
1.

˜
A derivada de uma func¸ao

˜ 1.1 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ∩ X e f : X −→ R. Dizemos que f e´
Definic¸ao
´ derivavel no ponto a quando existe o limite f (a) = lim

x→a

f(x) − f(a) x−a Neste caso, f (a) chama-se a derivada de f no ponto a

˜ 1.1 Seja q : X − {a} −→ R definida por q(x) =
Observac¸ao

f(x) − f(a)
.
x−a

˜ ou coeficiente angular, da reta seGeometricamente, q(x) e´ a inclinac¸ao,
´
cante ao grafico de f que passa pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)).

˜ 1.2 A reta r : y = f (a)(x − a) + f(a) que passa pelo ponto
Definic¸ao
˜ f (a) e´ chamada de reta tangente ao grafico
´
(a, f(a)) e tem inclinac¸ao de f no ponto a.

˜ 1.2 A inclinac¸ao
˜ da reta tangente e,
´ portanto, o limite,
Observac¸ao
˜ quando x −→ a, das inclinac¸oes das retas secantes que passam pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x))

˜ 1.3 Seja h = x − a, ou x = a + h, h = 0. Entao
˜
Observac¸ao f (a) = lim

h→0

f(a + h) − f(a) h ´
Instituto de Matematica
- UFF

217

´
Analise
na Reta

˜ h −→ onde a func¸ao

f(a + h) − f(a) esta´ definida no conjunto h Y = {h ∈ R − {0} | a + h ∈ X} ,
˜
que tem o zero como ponto de acumulac¸ao.

˜ 1.3 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ∩ X+ e f : X −→ R. Dizemos que f e´
Definic¸ao
´ derivavel a` direita no ponto a quando existe o limite f (a+ ) = lim+ x→a f(x) − f(a) f(a + h) − f(a)
.
= lim+ x−a h h→0 No caso afirmativo, f (a+ ) e´ a derivada a` direita de f no ponto a.
´
Seja a ∈ X∩X− . Dizemos que f e´ derivavel a` esquerda no ponto a quando existe o limite f (a− ) = lim− x→a f(x) − f(a) f(a + h) − f(a)
.
= lim− x−a h h→0 Neste caso, f (a− ) e´ a derivada a` esquerda de f no ponto a.

˜ 1.4 Se a ∈ X ∩ X+ ∩ X− , f (a) existe se, e so´ se, existem
Observac¸ao
˜ iguais as derivadas laterais f (a+ ) e f (a− ). e sao

˜ 1.5 Dizer que uma func¸ao
˜ f : [c, d] −→ R e´ derivavel
´
Observac¸ao no ponto a