Analise Combinatória

SUMÁRIO

1. Análise Combinatória
Fatorial
Princípio Fundamental da Contagem
Arranjos Simples
Permutações
Permutação com elementos repetidos
Combinação Simples
Binômio de Newton
Números Binomiais
Números Binomiais complementares
Propriedades dos Números Binomiais
Triângulo de Pascal
Construção do triângulo
Propriedades dos Triângulos
Binômio de Newton
Termo geral do Binômio

1. ANÁLISE COMBINATÓRIA

É a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de um determinado acontecimento (evento) sem, necessariamente, descrever todas as possibilidades.

1.1. FATORIAL
O Fatorial é indicado por um ponto de exclamação ao lado do número. Assim, sendo “n” um número natural, n! (lê-se: n fatorial) é o produto de todos os números naturais consecutivos de 1 até
n.
Portanto: n! = 1.2.3.4. ... (n – 1).n!
Por definição: 1! = 1
0! = 1

Ex.:

3! = 3.2.1
4! = 4.3.2.1
5! = 5.4.3.2.1

• Simplificar a expressão

n!  (n  1)! n! n !  (n  1)! n !  (n  1).n ! n ![1  (n  1)]


 1  n  1  n n! n! n! • Resolver a equação: (n – 4)! = 120
(n – 4)! = 5.4.3.2.1  (n – 4)! = 5!  n – 4 = 5  n = 9

EXERCÍCIOS

1) Calcule:

a)

6 !  3!  2 !
5!

resp.:

181
30

b)

4! 2! 0!
1!

resp.: 21

c)

5!
3!  2 !

resp.: 15

Resolver a equação:

Resolução:

x!
3 ( x  1)!
 
 91
2 ! ( x  2)! 2 ( x  3)!

x.( x  1).( x  2)! 3.( x  1).( x  2).( x  3)!
x.( x  1) 3.( x  1).( x  2)

 91 =>

 91
2
2
2 !.(x  2)!
2.( x  3)! multiplica x.(x – 1) + 3.(x – 1).(x – 2) = 182 x² – x + 3.(x² – 2.x – x + 2) = 182 x² – x + 3.x² – 6.x – 3.x + 6 – 182 = 0
4.x² – 10.x – 176 = 0

x’’ = 

x’ = 8 resposta

11
(não serve)
2

2) Resolva as equações:
a) x! = 15.(x – 1)!

resp.: 15

b) (n – 2)! = 2.(n – 4)!

resp.: 4

c) (n – 2)! = 720

resp.: 8

d)

( x  1)!
 56
( x  1)!

resp.: 7

e) (x + 3)! + (x + 2)! = 8.(x + 1)!

3) Calcule m de modo que:

m