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Prova

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Aplicação dos Teoremas de Decomposição para o Caso do
Operador Normal
TEOREMA ESPECTRAL: A normal então A diagonalizável em uma base O.N. ( ortonormal ).
A
Prova: Pelo T.D.P. ( Teorema da Decomposição Primária ) em C: p c x = x −

com E = N(A −

k
1) 1 ⊕ ... ⊕ N(A

1

k1

kl

... x −

.

l

− l)k l invariante.

AFIRMAÇÃO 1: N(A − i) k i = N(A − i).
Prova: Tome v com (A − i) k iv = 0, basta provar (A − i)v = 0;
Então,
k −1

k −1

k −1

A − a i .v = < A − i i .v, A − i i .v > = < A − onde * para θ significa o conjugado complexo;

i

ki − 2

.v, A * −

* i . A−

i

ki−1

.v >

Basta provar:
< A* −

* i . A−

i

k i −1

.v, A * −

* i . A−

ki − 1

i

.v > =

A* −

* i . A−

i

ki−1

.v

2

= 0;

Mas isso é,
< A−

i

k i −1

.v, A −

i

. A* −

* i . A−

i

ki−1

.v > = < A −

i

k i −1

.v, A * −

* i . A−

i

ki

.v > = 0

porque (A − i) .v = 0 por hipótese provando a afirmação. ki Isso prova que os subspaços do T.D.P. são autoespaços. Para fechar o teorema basta então provar:

AFIRMAÇÃO 2: N(A − i) k i ortogonal a N(A − i) k j para i ≠ j;
Prova:
Primeiro observe que A v = v implica A * v = * v porque
(A * − *).v 2 = < (A * − *).v, (A * − *).v > = < v, (A − ).(A * −
Tome: v ∈ N(A − i) e v ’ ∈ N A −

i

*).v

> = (A − ).v

2

= 0;

;

Então,
< A v, v ’ > =
Como i ≠ j ⇒

1 of 3

i

< v, v ’ > = < v, A *.v ’ > = i ≠

j

j

< v, v ’ > ;

⇒ < v, v ’ > = 0 i.e. v perpendicular a v ’. Provando a afirmação.

30−07−2003 02:09

Prova

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1

OBSERVAÇÃO: Se A é ortogonal real pelo teorema anterior a =

...

0

... ... ...
0

...

numa base O.N.

n

v 1, ..., v n.
Se
).

é autovalor complexo então

*

também é ( também é raiz do mesmo polinômio de coeficientes real

Se v = v 1 + i v 2 é vetor