Exercicos de algebra linear - matrizes, produto escalar, produto vetorial, produto misto.

Álgebra Linear Lista de Exercícios #1
a 1 ≤ i ≤ 2 1. Para  definem-se as matrizes A[aij] e B[bij] como sendo: A =  11 a21 1 ≤ j ≤ 2 b  b B =  11 12  . Com base nesta definição: b21 b22  a12  a22  

 x1 j = b1 j e y1 j = a1 j  a) Construa as matrizes X[xij] e Y[yij] de maneira que:   x2 j = a 2 j e y 2 j = b2 j 

b X =  11 a 21

b12   a11 a12   Y = b  a 22   21 b22 

b) Calcule A + B − A − B − X − Y

a12   b11 b12   a11 + b11 a A + B =  11 + = a 21 a22  b21 b22  a 21 + b21 a +b a12 + b12 A + B = 11 11 = a 21 + b21 a 22 + b22 a11 + b11 a 21 a11 a21 a12 a 22 a12 + b12 a 22 b11 a21 + a11 + b11 b21 a11 a12 a12 + b12 b22 b11 =

a12 + b12  a 22 + b22  

+

b12 a 22

+

b21 b22

+

b12

b21 b22

= A+ X +Y + B

por tan to : A+ B − A − B − X − Y = 0

_____________________________________________________________________

1

a )  2. Prove que, para [A]2x2 e [B]2x2, prove que:  b) 

A+ B ≠ A + B AB = A . B

[dica]: no item a), use os resultados do ex.1 para resolver. a) A + B ≠ A + B No exercício 1b foi demonstrado que

A+ B = A + B + X + Y

,

portanto

A + B = A + B se e somente se X + Y = 0 . Assim, A + B não é sempre igual a A + B . Quando isso acontece, diz-se, genericamente, que A + B ≠ A + B b) AB = A . B

[AB ] =  
AB =

a11 a 21

a12  b11 b12   a11b11 + a12b21 . = a22  b21 b22  a21b11 + a 22b21    a11b12 + a12b22 = a 21b12 + a 22b22

a11b12 + a12b22  a21b12 + a22 b22  

a11b11 + a12b21 a 21b11 + a 22b21

a11b11 + a12b21 a 21b11 a11b11 a21b11

a11b12 + a12b22 a11b11 + a12b21 + a 22b21 a 21b12 a12b22 a11b11 + a 21b12 a 22b21

a11b12 + a12b22 = a 22b22 a12b22 = a 22b22

a11b12 a12b21 + a 21b12 a21b11

a11b12 a12b21 + a 22b22 a22b21

a11a21

b11 b12 b b b b b b + a12 a21 21 22 + a11a22 11 12 + a12 a 22 21 22 = b11 b12 b11 b12 b21 b22 b21 b22 1 24 4 3 1 24 4 3
=0 =0

a12 a21

b21 b22 b b b b b b + a11a 22 11 12 = −a12 a 21