Algebra

´ Algebra Linear
Nenad Manojlovi´ c ´ Departamento de Matematica ˆ Faculdade de Ciencias e Tecnologia Universidade do Algarve

Sistemas de equacoes lineares ¸˜
ˆ ` Neste cap´tulo faremos referencia a teoria dos ı sistemas de equacoes lineares. ¸˜ ˜ As equacoes lineares sao de primeiro grau em ¸˜ ´ todas as variaveis. Exemplo 1. Resolva o sistema de equacoes ¸˜ x−y =0 x+y =4 A unica solucao e dada por x = 2 e y = 2. ¸˜ ´ ´
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Exemplo 2. Se poss´vel, resolva o sistema de equacoes ı ¸˜ x−y =0 3x − 3y = 0 O sistema admite solucoes x = y. ¸˜ Exemplo 3. Se poss´vel, resolva o sistema de equacoes ı ¸˜ x+y =0 x+y =1 ´ ˜ O sistema e imposs´vel e por isso nao admite ı qualquer solucao. ¸˜
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Em geral, um sistema de equacoes lineares pode ¸˜ ser escrito na seguinte forma a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ···································· am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm ´ Este sistema e chamado um sistema de m equacoes ¸˜ ´ ´ ˜ a n variaveis ou incognitas x1, . . . , xn. Supoe-se que os numeros aij e bk sejam conhecidos e que ´ ˜ se pretenda deduzir a expressao dos xj .
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Definicao 1. Chama-se solucao do sistema de ¸˜ ¸˜ equacoes lineares um conjunto de numeros u1, u2 . . . , un ¸˜ ´ tal que, substituindo cada xj pelo respectivo valor ´ uj , isto e x1 = u1, x2 = u2, . . . , xn = un, as m equacoes do sistema se transformam em ¸˜ igualdades verdadeiras.

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˜ Definicao 2. Os sistemas de equacoes lineares sao ¸˜ ¸˜ classificados de seguinte forma: ˜ - um sistema diz-se imposs´vel quando nao tem ı qualquer solucao; ¸˜ - um sistema diz-se poss´vel e indeterminado quando ı tem mais de uma solucao; ¸˜ - um sistema diz-se poss´vel e determinado quando ı tem uma unica solucao. ¸˜ ´
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Forma matricial dum sistema
´ Um sistema de m equacoes a n variaveis x1, . . . , xn ¸˜ a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ···································· am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

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