algebra

1. Seja uma transformação linear. Mostre que se todo vetor de V for autovetor de T, então existe um tal que T(v) = , .

2. Seja V um espaço vetorial sobre de dimensão finita e com produto interno.
Seja uma transformação linear autoadjunta, mostre que:
Se e com , então

Em relação ao primeiro, basta mostrar que os autovalores associados a cada elemento de uma base de V, , coincidem entre si. Isto porque se tivermos um conjunto de autovetores associados ao mesmo autovalor então qualquer combinação linear desses autovetores é um autovetor com o mesmo autovalor (exercício). Mostremos então que quaisquer dois elementos da base, , têm o mesmo autovalor. Sejam e os autovalores de e . Como todos os vetores de V são autovetores, existe tal que (i.e. é autovalor de ). Temos então a seguinte sequência de igualdades:

donde resulta, por u e v serem linearmente independentes, que .

Em relação ao segundo exercício, por definição T é autoadjunta se . Como e , temos que . Daqui sai que se então .

Em relação ao primeiro, basta mostrar que os autovalores associados a cada elemento de uma base de V, , coincidem entre si. Isto porque se tivermos um conjunto de autovetores associados ao mesmo autovalor então qualquer combinação linear desses autovetores é um autovetor com o mesmo autovalor (exercício). Mostremos então que quaisquer dois elementos da base, , têm o mesmo autovalor. Sejam e os autovalores de e . Como todos os vetores de V são autovetores, existe tal que (i.e. é autovalor de ). Temos então a seguinte sequência de igualdades:

donde resulta, por u e v serem linearmente independentes, que .

Em relação ao segundo exercício, por definição T é autoadjunta se . Como e , temos que . Daqui sai que se então