algebra

ESPAÇOS VETORIAIS:INDEPENDÊNCIA LINEAR, BASE E DIMENSÃO
EXERCÍCIOS:
1)Mostre que (1,-1), (1,2) e (2,1) são linearmente dependentes.
2)Dados V=R² e v1=(1,-1) , v2=(1,2) e v3=(3,6).
a) v1 e v2 são linearmente independentes?
b) v1,v2 e v3 são linearmente independentes?
3)Dados V=R²*²

v1= 1 1
-1 1

v2= 2 1
1 3

e v3= 0 1
2 1

v1,v2 e v3 são linearmente independentes?
4)Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R².
a) v1= (2,1) e v2=(3,2)
b) v1= (-2,1) , v2= (1,3) e v3= (2,4)
5)Indique se os vetores dados no exercício 4 formam ou não uma base para R².
6)Dados x1= (2,1) e x2= (4,3) .Mostre que x1 e x2 formam uma base para R² e diga qual é a dimensão desta base.
7)Encontre a dimensão do subespaço de P3 , gerado pelos vetores dados:
S=[x, -1+x , 1+x² ] C P3.
8)Dados V=R²*²

v1= 1 -1
1 1

v2= 0 1
2 1

v3= -1 0
0 2

e v4= 0 0
0 2

{ v1 , v2 , v3 , v4 } é uma base para R²*² ?

RESPOSTAS:
1)
Os vetores

são linearmente dependentes se, e somente se, existe um conjunto de

números complexos

com

para pelo menos um valor de i, tal que

, ou seja

Podemos verificar que se

e

, então:

Logo, os vetores

são linearmente dependentes.

2) a) São linearmente independentes,pois: a1v1+a2v2=0 => a1(1,-1) + a2(1,2)=(0,0)

a1+a2=0
-a1+2 a2=0
Reduzindo a matriz na forma escada, veremos que o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da aumentada, portanto a1=0 e a2=0 => os vetores são linearmente independentes.

b) Não são linearmente independentes, pois: a1v1+a2v2+a3v3=0 => a1(1,-1) + a2(1,2) + a3(3,6)=(0,0)

a1+a2+3 a3=0
-a1+2 a2+ 6 a3=0

O sistema é consistente e indeterminado, pois o posto da aumentada é diferente do posto da matriz dos coeficientes => os vetores não são linearmente independentes.

3)Sim, são linearmente independentes, pois: a1v1+a2v2+a3v3=0 => a1 * 1 1
1 1

+ a2 * 2 1 + a3 * 0 1
1 3

2 1

=

0 0
0 0

a1+2 a2=0 a1+a2+a3=0 -a1+a2+2