Algebra

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Segunda Lista de Exerc´ıcios de SMA304-Algebra
Linear
Professores: Carlos Biasi, Eduardo Hernandez, Evandro R. da Silva e Ires Dias

22.08.2005

1. Sejam M = 0 uma matriz sim´etrica e N = 0 uma matriz anti-sim´etrica em M3 (R). Mostre que M e N s˜ao l.i..
2. Determinar m e n para que os conjuntos de vetores dados abaixo sejam l.i. em R3 .
(a) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)}
(b) {(1, 3, 5), (2, m + 1, 10)}
(c) {(m, 2, n), (3, m + n, m − 1)}
3. Mostre que o conjunto de vetores A = {1, x, x2 , 2 + x + 2x2 } de P3 (R) ´e l.d. e que qualquer subconjunto de A, com trˆes elementos ´e l.i..
4. Mostrar que se o conjunto {u, v, w} de vetores de um espa¸co vetorial V for l.i., o mesmo acontecer´ a com {u + v, u + w, v + w}.
5. Mostre que os subconjuntos do R3
W1 = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x − 3y + 4z = 0}
W2 = {(x, y, z) ∈ R3 | 3x + 2y − 5z = 0}
→
− s˜ao subespa¸cos vetoriais. Quais s˜ao suas dimens˜oes? Ache um vetor v ∈ W1 ∩ W2 , v = 0 .
6. Sejam u1 = (1, 3, 5) e u2 = (2, 4, −3) vetores de R3 . Determine os valores de k para os quais (2, 7, k) pode ser escrito como combina¸c˜ao linear de u1 e u2 .
7. Sejam A ∈ Mn (R) e u1 , u2 , . . . , ur vetores coluna n × 1. Mostre que se Au1 , Au2 , . . . , Aur s˜ ao vetores l.i., ent˜ao u1 , u2 , . . . , ur s˜ao l.i..
8. Seja V o espa¸co das fun¸c˜oes de R em R. Mostre que f, g, h ∈ V s˜ao l.i., onde f (t) = sen(t), g(t) = cos(t) e h(t) = t.
9. Considere os seguintes subespa¸cos de R3
S = [(1, −1, 2), (2, 1, 1)]
T = [(0, 1, −1), (1, 2, 1)]
U = {(x, y, z) | x + y = 4x − z = 0}
V = {(x, y, z) | 3x − y − z = 0}
Determine as dimens˜oes de
(a) S
(b) T
(c) U
(d) V
(e) S + T
(f ) S ∩ T
(g) T + U
(h) T ∩ U .
10. Determinar uma base e a dimens˜ao do espa¸co solu¸c˜ao de cada um dos sistemas lineares homogˆeneos

 x−y =0
 2x − 2y + z = 0

3x − y + 3z = 0
2x − 3y = 0
(a)
(b)


3y + 4z = 0
3x − 21 y = 0
11. Sejam U e W os seguintes subespa¸cos de R4
U = {(a, b, c, d) | b − 2c + d =