Algebra

´ Algebra Linear
Licenciatura em Gest˜o a Paula Mendes Martins 16 de outubro de 2012

licenciatura em gest˜o (UM) a

a ´lgebra linear

16 out’12

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´lgebra linear - sistemas de equa¸˜es lineares a co

C´lculo da matriz inversa a Existem alguns m´todos diferentes para calcular a inversa de uma matriz invert´ de e ıvel ordem n. O m´todo de Gauss-Jordan passa pela resolu¸˜o simultˆnea de n sistemas de e ca a n equa¸˜es em n inc´gnitas. Este m´todo baseia-se no seguinte teorema. co o e a co Teorema. Sejam n ∈ N e A uma matriz quadrada de ordem n. Ent˜o, as afirma¸˜es seguintes s˜o equivalentes: a (i) A ´ invert´ e ıvel; (ii) Ax = 0 tem uma unica solu¸˜o (o vector nulo). ´ ca

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Observa¸˜o. Sabendo que uma matriz A ∈ Mn (R) ´ invert´ ca e ıvel, para determinarmos a sua inversa, basta encontrar a matriz X ∈ Mn (R) tal que AX = In , i.e., basta resolver simultaneamente os n sistemas ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 0 1 ⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ AX = ⎢ AX = ⎢ ⎥, ⎥, ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ . . 0 0 ⎡ ··· ⎢ ⎢ ⎢ AX = ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦

0 0 . . . 0 1

Usando a nota¸˜o (AIn ) para representar simultaneamente os n sistemas, efectuamos ca opera¸˜es elementares sobre linhas para obter a matriz (In X ). Temos que X = A−1 . co

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1 Exemplo. Seja A = ⎣ 2 4 ⎡ ⎡ 2 1 2 ⎤ 3 3 ⎦. 5 ⎤ Ent˜o, de a ⎤

⎡ −− − − − −→ 1 −−−−−− 1 2 3 1 0 0 1 2 3 L2 → L2 − 2L1 ⎣ ⎣ 2 1 3 −2 0 −3 −3 0 1 0 ⎦ L3 → L3 − 4L1 −4 0 −6 −7 0 0 1 4 2 5 ⎡ ⎡ ⎤ −− − − − −→ 1 0 −−−−−− 1 0 0 1 2 3 1 L1 → L1 − 2L2 ⎣ 2 ⎣ 0 −1 0 ⎦ 1 1 0 1 1 3 3 L3 → L3 + 6L2 −4 0 1 0 −6 −7 0 0 −1 ⎤ ⎡ ⎡ 1 4 −− − − − − − − − − −→ 1 0 −3 −3 1 0 1 0 − − − →⎣ −−− L1 → L1 + L3 ⎣ 2 7 − 3 1 ⎦ L3 → −L3 0 1 0 1 0 3 L2 → L2 + L3 0 −2 1 0 0 −1 0 0 ⎡ 1 ⎤ 4 −3 −3 1 conclu´ ımos que A admite inversa e que A−1