Algebra

Material de Apoio a disciplina de Álgebra e Geometria Computacional
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MATRIZES

1. DEFINIÇÃO Denominamos matriz de ordem m x n (lê-se m por n) o conjunto de números reais dispostos em um quadro de m linhas (disposições horizontais) e n colunas (disposições verticais). Algebricamente uma matriz A pode ser indicada por:

 a11 A= a 21  a 31 

a12 a 22 a 32

a13  a 23   a 33  

Linhas

Colunas

O elemento a ij dotado de dois índices onde o primeiro, i, indica a linha e o segundo, j, indica a coluna, às quais o elemento a ij pertence.

2. CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES 2.1 - Matriz nula: È a matriz que tem todos os seus elementos iguais a zero. 2.2 – Matriz quadrada: È a matriz que tem o numero m linhas iguais o numero n de colunas. 2.3 – Matrizes identidade A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0. Representamos a matriz identidade por I n . 2

Exemplos: 1 0 I2 =   0 1 

Diagonal principal

1 0 0  I 3 = 0 1 0    0 0 1   
Diagonal principal 2.4- Matriz oposta → Seja AmXn uma matriz qualquer, chamamos de matriz oposta de A e indicamos (– AmXn), aquela matriz onde cada elemento correspondente ao da matriz A é o oposto a ele. Exemplo:
− 2 − 3 4 − 5  A2X4 =   − 6 − 8 − 7 9  2 3 − 4 5  - A2X4 =   6 8 7 − 9 

logo,

2.5- Lei de Formação de uma matriz: É uma regra que define como será o elemento de uma

matriz qualquer.
Exemplo: Construa a matriz a3X2 onde aij = 2i + j.

a11
Resolução: Temos a matriz A 3X2 = a 21

a12 a 22 a32

a13 a 23 , portanto... a 33

a 31
● a11 = 2(1) + (1) = 2 + 1 ⇒ a11 = 3 ● a12 = 2(1) + (2) = 2 + 2 ⇒ a12 = 4 ● a21 = 2(2) + (1) = 4 + 1 ⇒ a21 = 5 ● a22 = 2(2) + (2) = 4 + 2 ⇒ a22 = 6 ● a31 = 2(3) + (1) = 6 + 1 ⇒ a31 = 7 ● a32 = 2(3) + (2) = 6 + 2 ⇒ a32 = 8

3

3 4

Logo...

A3X2 = 5 6 7 8

3. IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A = (a ij ) e B = (bij ) do tipo m x n são