algebra linear

Escalonamento ou o Método da Eliminação de Gauss

A teoria das equações lineares desempenha papel importante e motivador no campo da Álgebra Linear, onde muitos problemas são equivalentes ao estudo de um sistema de equações lineares.

Procurei neste artigo evitar todo o rigor matemático do método aplicado no Cálculo Numérico, sem abrir mão de um mínimo de formalismo necessário para o bom entendimento.

Os métodos diretos que aprendemos no ensino médio como por substituição só é prático para duas equações a duas incógnitas; para outros casos destaca-se a regra de Cramer. Esse método, se aplicado a um sistema de n x n envolve um cálculo de (n + 1) determinantes de ordem n. Se n = 20, por exemplo, o total de operações efetuadas será de 21 x 20! x 19 multiplicações mais um número semelhante de adições. Assim, se um computador que efetue cerca de cem milhões de multiplicações por segundo, levaria 3 x 105 anos para efetuar as operações necessárias.

Claro que na época de Gauss não existia computador. Imaginem como era para resolver sistemas com n = 4, n = 5, n = 10.

O método de eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com a matriz dos coeficientes triangular superior, pois estes são de resolução imediata.

Uma equação linear no campo dos números Reais pode ser representada como:

onde e os xi são indeterminados, ou seja as incógnitas ou variáveis. Os escalares ai são chamados coeficientes de x­i­ respectivamente, e b é chamado de constante ou termo independente. Um sistema de equações lineares é um conjunto de m equações com n incógnitas. Neste estudo, vamos nos concentrar em sistemas lineares do tipo n x n, onde o número de equações é igual ao número de incógnitas.

Considere o sistema linear Ax = b:

O método de eliminação de Gauss consiste em transformar convenientemente o sistema linear original para obter um sistema linear equivalente com matriz dos