AD 1 Calculo 1

Respostas AD01 - 1/2014 - CÁLCULO I

QUESTÃO 01. [3, 0 pontos]
Calcule os seguintes limites de funções:
(a) lim

x→1

x3 + 4x2 − 5x x2 + x − 2

(b) lim √ x→5 x−5
√
x− 5

(c) lim

x→1

(4x − 1) sen(x − 1) x3 + x2 − 2x

Solução:

x3 + 4x2 − 5x x(x − 1)(x + 5) x(x + 5)
6
= lim
= lim
= =2
2+x−2
x→1 x→1 (x − 1)(x + 2) x→1 x x+2 3
√
√
√
√ x+ 5
(x − 5)( x + 5) x−5 x−5
√ = lim √
√
√ = lim √
√ √
√ =
(b) lim √
√
x→5 ( x − x→5 x − 5 x→5 x− 5 x+ 5
5)( x + 5)
√
√
√
√
√
(x − 5)( x + 5)
= lim x + 5 = 2 5
= lim x→5 x→5 x−5 (a) lim

(c) lim

x→1

= lim

x→1

(4x − 1) sen(x − 1)
(4x − 1) sen(x − 1)
(4x − 1) sen(x − 1)
= lim
= lim
=
x→1 x→1 x(x + 2) x3 + x2 − 2x x(x + 2)(x − 1)
(x − 1)

sen(x − 1)
(4x − 1) lim =1 x→1 x(x + 2)
(x − 1)

QUESTÃO 02. [2, 5 pontos]
Considere a função f (x) = √

2x
.
− 16

x2

(a) Determine o domínio de f ;
(b) Encontre as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais, caso existam, do gráco

de f , fazendo um estudo completo dos limites innitos e no innito;
(c) Trace um esboço do gráco de f .
Solução:

(a) D(f ) = {x ∈ R; x2 − 16 > 0} = {x ∈ R; (x + 4)(x − 4) > 0} =
= {x ∈ R; x < −4 ou x > 4} = (−∞, −4) ∪ (4, +∞)
(b) Temos que:
√
2x
(i) lim − √
= −∞, pois 2x → −8 e x2 − 16 → 0+ quando x → −4− ; x→−4 x2 − 16
√
2x
(ii) lim √
= +∞, pois 2x → 8 e x2 − 16 → 0+ quando x → 4+ ; x→4+ x2 − 16
2x
2x
2x
(iii) lim √
= lim
= lim
= 2, x→+∞ x→+∞ x2 − 16 x→+∞
16
16 x2 1 − 2 x 1− 2 x x
√
onde utilizamos x2 = |x| = x, pois x > 0;

1

2x
(iv) lim √
= lim
2 − 16 x→−∞ x→−∞ x 2x

16
1− 2 x √
2 = |x| = −x, pois x < 0. onde utilizamos x x2 2x

= lim

x→+∞

(−x)

16
1− 2 x = −2,

De (i) e (ii), concluimos que as reta x = −4 e x = 4 são as assíntotas verticais do gráco de f e, de (iii) e (iv), concluimos que as retas y = 2 e y = −2 são as assíntotas horizontais do gráco de f .