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Instituto de Matem´tica e Estat´ a ıstica da USP MAT 2455 - C´lculo Diferencial e Integral III para Engenharia a Prova 3 - 1o semestre de 2012 Quest˜o 1: a (a) (1,5 ponto) Calcule a massa da superf´ x2 + y 2 − z 2 = 1 limitada pelos planos z = 2 e ıcie z = 4, onde a densidade de massa ´ δ(x, y, z) = z. e (b) (2 pontos) Calcule
S

zx dy ∧ dz +

y2 zy dz ∧ dx + dx ∧ dy, onde 2 2

S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 4, x2 + y 2 ≤ 2x, z ≥ 0} orientada pela normal N com N · k > 0. Solu¸˜o: ca (a) Como os dois planos est˜o em z > 0, temos que a superf´ em quest˜o ´ parte da parte a ıcie a e superior do hiperbol´ide de uma folha. Sendo assim, podemos escrever sua equa¸ao como o c˜ 2 + y 2 − 1. z= x Assim podemos parametrizar a super´ S da seguinte forma: ıcie σ(u, v) = (u, v, √ u2 + v 2 − 1)

Para encontrar os valores de (u, v) em que a superf´ S ´ definida, realizamos a interıcie e sec¸ao do hiperbol´ide com cada um dos planos. Assim temos: c˜ o x2 + y 2 − z 2 = 1 ⇒ z=2 x2 + y 2 − z 2 = 1 ⇒ z=4 x2 + y 2 = 5

x2 + y 2 = 17

Sendo assim, temos que a regi˜o R na qual a superf´ S ´ definida ´: a ıcie e e R = {(u, v) ∈ R2 | 5 ≤ u2 + v 2 ≤ 17} Calculando σu ∧ σv : u + v2 − 1 v σv = 0, 1, √ u2 + v 2 − 1 u v σu ∧ σv = − √ , −√ ,1 u2 + v 2 − 1 u2 + v 2 − 1 σu = 1, 0, √ u2 ||σu ∧ σv || = v2 u2 + 2 +1= u2 + v 2 − 1 u + v 2 − 1 1 2u2 + 2v 2 + 1 u2 + v 2 − 1

Sendo assim, aplicando a defini¸ao de integral de superf´ de um campo escalar: c˜ ıcie

z dS =
S R

z(σ(u, v))||σu ∧ σv || du dv =
R

√

u2 + v 2 − 1 ·

2u2 + 2v 2 − 1 du dv u2 + v 2 − 1

Realizando a seguinte mudan¸a para coordenadas polares: c x = ρ cos θ y = ρ sin θ |J| = ρ
2π √ √ 17

=
0

ρ
5

2ρ2 − 1 dρ dθ

Realizando uma mudan¸a de vari´vel: w = 2ρ2 − 1 ⇒ dw = 4ρdρ c a 1 = 2π 4
33 9

√

1 2w 2 w dw = 2π 4 3

3

33

=
9

√ π √ (33 3 − 27) = π(11 33 − 9) 3

2

(b) Como a superf´ est´ em z ≥ 0, temos que a superf´ em quest˜o ´ parte da parte supeıcie a ıcie a e rior