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Diferenciabilidade.
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial. Estudo de funções.

Exercícios
1. Use a definição para calcular a derivada das seguintes funções nos pontos indicados:
1.1. f (x) = x+3, nos pontos x = 0 e x = 2
1.2. g(x)=

x 2  1 , no ponto x = 2

1.3. h(x) = e x, nos pontos x = 0 e x = 2
1.4. m(x)= ln x, nos pontos x = 1 e x = 2
2. Para cada valor real de a e b a expressão representa uma função:
 ax  b se x  -1

f ( x)  
x 2 - 2x  5 se x  1


Determine a e b de modo que a expressão seja diferenciável em IR.
3. Das seguintes afirmações diga, justificando, quais são as falsas:
3.1. Se uma função tem derivada positiva num intervalo é porque é positiva nesse intervalo. 3.2. Se uma função é constante num intervalo aberto tem derivada nula nesse intervalo. 3.3. Se uma função é contínua em a, então existe f '(a).
3.4. Se uma função f não tem derivada em
, então não é contínua em a.
4. Determine uma expressão que defina a função derivada das seguintes funções:
4.1. f (x)= 3x2 + 4x – 8;
4.2. f (x)= (3x2 + 4x )(1–x3);
4.3. f (x)=

x ( x  3) x2  1

;

4.4. f (x)= (–5x2 + 3)2
4.5. f (x)= x 2  4x ;
4.6. f (x)=

x2  1
3 x

;

4.7. f (x)= 3 x 2  2 ;

Análise Matemática

1

Diferenciabilidade.
Teoremas fundamentais do cálculo diferencial. Estudo de funções.





2

4.8. f (x)= x 2  2x 3 ;
4.9. f (x ) = e x

2

3

;

4.10. f (x ) = log (2 + x2 );
4.11. f (x ) =log (2 + 3x3) – x.
5. Verifique se são ou não diferenciáveis as seguintes funções no ponto dado e, em caso afirmativo, indique o valor da derivada nesse ponto:
5.1. f (x ) = (x2 + 2x)2, no ponto x= 3;
5.2. f (x ) = x , no ponto x= 3;
5.3. f (x ) = | x –3 |, no ponto x= 3;
5.4. f (x ) = | x2 – 9 |, no ponto x= 3;
5.5. f (x ) = | x3 – 27|, no ponto x= 3;
3

5.6. f (x ) =

x 2 1
3

x

, no ponto x= 3;

x 2  3x  2 se x  1

5.7. f (x) =  1
, no ponto x = 1;
1
se x  1
 x


