Graduado em Matemática

superf´ a e e ıcies podem tamb´m e ser definidas explicitamente, ou parametrizadas por uma fun¸˜o suave f : U → R3 , com U ca 1 2 um subconjunto aberto do R2 . A cross-cap surge desta forma, considerando f : (R2 , 0) → (R3 , 0) o germe definido por f (x, y) = (x, xy, y 2 ). A imagem de f ´ o guarda chuva de e Whitney sem a sua “al¸a”(semi-reta u = v = 0, w < 0). Definimos a cross-cap como a c imagem de qualquer germe g que ´ A-equivalente a f . Dizemos ent˜o que g parametriza e a a cross-cap. O ponto cross-cap ´ a imagem da origem (0, 0) pelo germe g. e Como nosso objeto de estudo ´ a geometria diferencial, desejamos que estas aplica¸˜es e co sejam suaves. No entanto, n˜o ´ verdade, em todo sentido, que a maioria de tais parametria e za¸oes sejam variedades, pois tais aplica¸oes podem ter auto-intersec¸˜es, e mais signic˜ c˜ co ficativamente elas podem possuir pontos cross-caps (pontos singulares). Al´m disso, se e perturbarmos estas aplica¸oes, essas singularidades persistir˜o, ou seja eles s˜o est´veis c˜ a a a (ver [14] para detalhes). Consequentemente, quando estudamos a geometria diferencial de ´ superf´ ıcies em R3 , existem boas raz˜es para estudar superf´ o ıcies com cross-caps. E este o assunto que trataremos nesta disserta¸˜o. Em particular, existem dois pares cl´ssicos de ca a folhea¸oes em superf´ c˜ ıcies suaves orientadas em R3 , a saber: linhas de curvatura e linhas assint´ticas. Uma linha de curvatura de…