Álgebra linear exercícios resolvidos

´ Algebra Linear—Exerc´ ıcios Resolvidos

Agosto de 2001

2

Sum´rio a
1 Exerc´ ıcios Resolvidos — Uma Revis˜o a 2 Mais Exerc´ ıcios Resolvidos Sobre Transforma¸˜es Lineares co 5 13

3

4

´ SUMARIO

Cap´ ıtulo 1

Exerc´ ıcios Resolvidos — Uma Revis˜o a
Ex. Resolvido 1 Verifique se V = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; y = x, z = w2 } com as opera¸˜es usuais de R4 ´ um co e espa¸o vetorial. c Resolu¸˜o: Note que (0, 0, 1, 1) ∈ V mas −1(0, 0, 1, 1) = (0, 0, −1, −1) ∈ V. Assim, V n˜o ´ um espa¸o ca a e c vetorial. Ex. Resolvido 2 Seja A ∈ Mn (R) uma matriz quadrada de ordem n. Verifique se W = {X ∈ Mn×1 (R); AX = 0} ´ um subespa¸o vetorial de Mn×1 (R), com as opera¸˜es usuais. e c co Resolu¸˜o: ca 1. Seja O = (0) a matriz n × 1 nula. Como AO = O, temos que O ∈ W. 2. Se X, Y ∈ W e λ ∈ R, ent˜o, pelas propriedades da soma e da multiplica¸˜o por escalar usuais entre a ca as matrizes e, tamb´m, pelas propriedades do produto entre matrizes, temos e A(X + λY ) = AX + A(λY ) = AX + λAY = O + λO = O. Portanto X + λY ∈ W. Conclu´ ımos que W ´ um subespa¸o vetorial de Mn×1 (R). e c Ex. Resolvido 3 Encontre o subespa¸o vetorial de P3 (R) gerado por S = {1, t, t2 , 1 + t3 }. c Resolu¸˜o: Note que t3 = (t3 + 1) − 1. Assim, dado p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 ∈ P3 (R) podemos escrever ca p(t) = (a0 − a3 ) + a1 t + a2 t2 + a3 (t3 + 1) ∈ [S]. Logo, P3 (R) = [S]. Ex. Resolvido 4 Encontre o subespa¸o vetorial de M2 (R) gerado por c S= 0 1 0 0 , 0 0 −1 0

Resolu¸˜o: Temos que A ∈ [S] se e somente se existem α, β ∈ R tais que ca A=α 0 1 0 0 +β 0 0 −1 0 = 0 −β α 0 ,

ou seja, A ∈ [S] se e somente se os elementos da diagonal principal de A s˜o nulos. a

5

6

˜ CAP´ ITULO 1. EXERC´ ICIOS RESOLVIDOS — UMA REVISAO

Ex. Resolvido 5 Encontre um conjunto finito de geradores para W = {X ∈ M3×1 (R) : AX = 0}, onde  0 1 0 A =  2 1 0 . 1 1 4         α 0 1 0 α 0 X = β  ∈ W ⇐⇒ 2 1 0 β  = 0 γ 1 1 4 γ 0           1 1 4 α 0 1 1 4 α 0 ⇐⇒ 2 1 0 β 