Àlgebra linear

Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri – UFVJM

Disciplina: Fundamentos de Álgebra Linear

QUARTA LISTA

Aluno: Rozania Pereira dos Santos

Abril de 2012

TAIOBEIRAS/MG

QUESTÃO 1)

Primeiramente vamos reescrever o sistema usando a matriz aumentada do sistema: [A | b]

[2 -1 3 | 11]
[4 -3 2 | 0]
[1 1 1 | 6]
[3 1 1 | 4]

No escalonamento, é autorizado realizar 3 operações, chamadas elementares:
1) Trocar linhas de lugar;
2) Multiplicar uma linha qualquer da matriz por um número qualquer;
3) Somar uma linha multiplicada por um número a outra linha da matriz.

Sabendo disso, vamos começar:

Primeiro, vamos passar a terceira linha para a primeira, pois o número 1 na primeira entrada não-nula da matriz nos facilita a vida:

[1 1 1 | 6]
[2 -1 3 | 11]
[4 -3 2 | 0]
[3 1 1 | 4]

Agora, vamos fazer o seguinte: subtrair da segunda linha, a primeira linha multiplicada por 2; subtrair da terceira linha, a primeira linha multiplicada por 3 e subtrair da quarta linha, a primeira linha multiplicada por 4, pois queremos zerar os primeiros elementos de cada linha a partir da segunda para baixo. Daí obtemos:

[1 1 1 | 6]
[0 3 -1 | 1]
[0 7 2 | 24]
[0 2 2 | 14]

Como todos os elementos da última linha são pares, podemos dividir essa linha por 2 (multiplicar por 1/2), e vamos também passar essa linha para a segunda posição da matriz:

[1 1 1 | 6]
[0 1 1 | 7]
[0 3 -1 | 1]
[0 7 2 | 24]

Agora, precisamos zerar a segunda coluna da terceira e quarta linhas. Para isso, vamos substrair da terceira linha, a segunda linha multiplicada por 3; e da quarta linha, vamos subtrair a segunda linha multiplicada por 7:

[1 1 1 | 6]
[0 1 1 | 7]
[0 0 4 | 20]
[0 0 5 | 25]

A terceira linha pode ser simplificada, se dividida por 4, e a quarta linha, por 5. Daí obtemos:

[1 1 1 | 6]
[0 1 1 | 7]
[0 0 1 | 5]
[0 0 1 | 5]

Como as duas últimas linhas são iguais,