Uniadade 2

Unidade II

TEORIA DOS NÚMEROS

Prof. Gastón A. C. Henriquez

Os diferentes tipos de demonstração  Método das ciências naturais: “indução empírica”. Na matemática:
1. Para provar que uma afirmação é falsa, basta encontrar um contraexemplo.
2. Para provar que uma afirmação é verdadeira, é necessário verificá-la para todas as situações em que ela se aplica.

Validade de um teorema matemático
 Portanto, a validade de um teorema matemático se estabelece de forma diferente. Uma afirmação ser verdadeira em um grande número de situações particulares não permite afirmar que ela seja válida. válida A indução matemática é um princípio postulado por Peano, que resolve tal problema para os números naturais, ou seja, se uma propriedade é verificada para o zero e sempre verificada para um número natural n, também pode ser verificada para seu sucessor n+1; então, a propriedade é verificada para todos os números naturais.

Princípio da indução completa
 Seja p um número inteiro dado, suponhamos que seja feita uma afirmação a respeito de cada número inteiro n ≥ p, de forma que:
1. A afirmação seja válida para n = p.
2. Se a afirmação é válida para algum inteiro n = k, então também é válida para n = k + 1.
 Então, a afirmação é válida para todo inteiro n ≥ p.

Exemplo
Observe que:
 1 = 12
 1 + 3 = 4 = 22
 1 + 3 + 5 = 9 = 32
 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Vamos demonstrar que a soma dos n primeiros números ímpares positivos é igual a n2.

Continuação do exemplo
 Lembremos que um número ímpar positivo pode ser escrito na forma 2n – 1.
Sendo assim:
 o primeiro ímpar positivo é 1 = 2.1 – 1
 o segundo ímpar positivo é 3 = 2.2
22–1
 o terceiro ímpar positivo é 5 = 2.3 – 1
 e assim por diante.
Então, queremos demonstrar que:
 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2.

Demonstração
1. A afirmação é válida para n = 1, pois
1 = 12.
2. Vamos mostrar que, se a afirmação for válida para n = k, então também será válida para n = k+1.
De fato, se 1+3+5+...+ (2k – 1) = k2, então:
1+3+5+ ...