Técnico

Lita 1 - Sequˆncias e S´ries e e
1. (a) O que ´ uma sequˆncia? e e (b) Seja (an ) uma sequˆncia. Qual o significado de lim an = 7? e (c) Dˆ dois exemplos de sequˆncias convergentes e divergentes. e e 2. Fa¸a os gr´ficos das sequˆncias: c a e (a) xn = (b) xn =
1 √ 1+ n 1 1 1 + 2

+ ··· +

1 n n 2n+1 .

3. Encontre os primeiros 7 termos da sequˆncia (xn ), onde xn = e Esta sequˆncia converge? Qual seria seu limite? e

4. Determine se a sequˆncia (xn ) converge ou diverge. Se convergir, ene contre seu limite. (a) xn = 1 − (0, 2)n (b) xn = (c) xn = (d) xn = n3 n3 +1 n √ 1+ n e1/n

(e) xn = cos(n/2) (f) xn = nsen(1/n) (g) xn = n! 2n

5. Escreva a negativa de: dado para todo n ≥ n0 .

> 0, existe n0 ∈ N tal que |xn − a| < ,

6. A sequˆncia (xn ) definida por x1 = 1 e xn+1 = 4 − xn , para n ≥ 1, ´ e e convergente? E se o primeiro termo fosse a1 = 2? 7. Mostre que a sequˆncia (an ), onde an = (1 + e an (Sugest˜o: mostre que an−1 > 1) a
1 n n) ,

´ crescente. e

8. Determine se a sequˆncia (xn ) ´ mon´tona e se ´ limitada. e e o e (a) xn = (−2)n (b) xn = (d) xn =
1 2n+3 n n2 +1 1 n

(c) xn = n(−1)n (e) xn = n +

√ 9. Calcule o limite da sequˆncia ( 2, e

√ 2 2,

√ 2 2 2, ...).

10. Mostre que a sequˆncia (xn ) dada por e x1 = 1, xn+1 = 3 − 1 an

´ crescente e limitada. Deduza que esta sequˆncia ´ convergente e e e e calcule seu limite. 1

1 1 11. (a) Determine para quais valores de n vale que an ∈ (− 10 , 10 ), onde 1 an = n

(b) Determine para quais valores de n vale que bn ∈ (0, 999, 1, 001), onde bn = n−1 n 12. Dado > 0 qualquer, determine n0 ∈ N tal que xn ∈ (L− , L+ ), ∀n ≥ n0 . (a) xn = (b) xn = (c) xn = (d) xn =
1 n

eL=0 eL=0 eL=
1 3

√1 n+2 1 2+ n2 9−n2

n+1 n

e L = −1

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