Trigonometria-relação fundamental e derivadas

Abaixo, a relação trigonométrica fundamental e suas derivadas: sen²(x)+cos²x=1 Derivadas: sen2x=1- cos²x cos2x=1- sen²(x)

Essas relações são fundamentais porque a partir de um valor de uma das razões de um arco qualquer, calculamos os valores das outras razões trigonométricas caso existam. Observe exemplos:

1- Sendo α um ângulo agudo, e sendo cos α = 1/3, calcule sen α e tg α

sen² + (1/7)² = 1 sen² + 1/49 = 1 sen² = 1- 1/49 sen² = 49 – 1/49 sen² = 48/49 sen = √48 / √49 sen = √2². 2². 3 / √49 sen = 4.√3 /7

Sendo tg = sen/cos, temos:
Tg= 4√3/7 / 1/7
Tg= 4√3

Porém, existe um método mais prático de determinar a tg por Pitágoras.

Temos que cos= 1/7 e cós é determinado pela razão ca/hip, então: α 1
Hip² = c² + c²
7² = 1² + x²
49 = 1 + x² x² = 49 – 1 x² = 48 x = √48 x = 4.√3 2-
Determine m € R de modo que tenhamos simultaneamente sen x = m e cos x = (m + 1 / 3)

m² + (m + 1 / 3)² = 1 m² + (m² + 2m + 1) /9 = 1
9m² + m² + 2m + 1 / 9 = 1 / 9
10m² +2m + 1 – 9 = 0
10m² + 2m – 8 = 0 :2
5m² + m – 4 = 0
X= -1 ± √1- 4. 5 . (-4) /10
X= -1 ± √1+80 /10
X= -1± 9/10
X¹= -1+9/10 = 8/10 = 4/5
X²= -1-9/10= -1
S= { -1 ; 4/5}

Exercícios 1- Considerando que , com , determine sen x. 2- Dado o valor sen(x)=-12 e 3π2<x<2π determine o valor das demais funções trigonométricas:

Resolução:

1- Sen² + (1/3)² = 1
Sen² + 1/9 = 1
Sen² = 1- 1/9
Sen² = 9-1/9
Sen² = 8/9
Sen² = √8/√9
Sen² = 2√2/3

2- Sen² + cos² = 1 tg= sem/cos cotg= cos/sen
(-1/2)² + cos² = 1 tg= -1/2 / √3/2 cotg= √3/2 / -1/2
-1/4 + cos² = 1 tg= -1/2 . 2/√3 cotg= √3/2 . -2/1
Cos² = 1 + ¼ tg= -2/ 2√3 .√3 / √3 cotg= -2√3 / 2
Cos² = ¾ tg= -2√3 / 6 ÷2 cotg= -√3
Cos = √3 / √4 tg= -√3 / 3
Cos