Triangulo de Pascal

Triângulo dePascal Triângulo de Pascal
Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais onde representa o número da linha (posição vertical) e representa o número da coluna (posição horizontal).
A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.
O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:

O triângulo de Pascal.

Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Khayyám, pode ter sido o primeiro a descobrir.
Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:

Demonstração do teorema do Binômio de Newton
Antes de começar, vale lembrar que: (1)
Sejam x, y elementos de um anel comutativo ( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.

Demonstraremos por indução matemática.
Base:

Recorrência:
Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:
Da hipótese de indução:

Por distributividade de produto sob a soma:

Que pode ser reescrito usando (1):

Usando a formula do triângulo de Pascal:

Reagrupando o somatório:

E segue o resultado.
Aplicações
O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y. Por exemplo:

onde são os polinómios de Bernstein.
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