Tratamento algebrico JPG

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VETORES - TRATAMENTO ALGEBRICO
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Sejam dois vetores, → v1 e → v2 , n˜ao-paralelos. Ent˜ao, para cada vetor v, exite uma s´o dupla de n´ umeros reais
→
−
→
− a1 e a2 tais que v = a1 v1 + a2 v2 .
Neste caso, dizemos que:
−
− v ´e combina¸c˜ ao linear de → v1 e → v2 e
−
−
B = {→ v1 , → v2 } ´e base
Nota¸ca˜o: v = (a1 , a2 )B ou vB = (a1 , a2 )
−
−
Uma base {→ e1 , → e2 } ´e ortonormal se

→
−
− e1 ⊥ → e2 (ortogonais) e −
−
|→ e1 | = |→ e2 | = 1 (unit´arios)

Base canˆ onica ´e a base C = i, j

onde i = (1, 0) e j = (0, 1).

v = xi + y j v = (x, y) (express˜ao anal´ıtica)
Defini¸c˜
ao (alg´ebrica de vetor): Vetor no plano ´e um par ordenado (x, y) de n´ umeros reais.
−
Igualdade de vetores: Sejam dois vetores u = (x1 , y1 ) e → v = (x2 , y2 ). Ent˜ao u = v ⇔ x1 = x2 e y1 = y2 .
Exemplo 1 Sejam u = (x + 1, 4) e v = (5, 2y − 6). Ent˜ao u = v se, e somente se,

x+1=5⇒x=4
2y − 6 = 4 ⇒ y = 5

−
Opera¸c˜
oes com vetores: Sejam os vetores u = (x1 , y1 ) e → v = (x2 , y2 ) e α ∈ R. Ent˜ao:
1) u ± v = (x1 , y1 ) ± (x2 , y2 ) = (x1 ± x2 , y1 ± +y2 )
2) αu = α (x1 , y1 ) = (αx1 , αy1 )
Propriedades: Para quaisquer vetores u, v e w e escalares α e β, tem-se: u+v =v+u u+0=u (u + v) + w = u + (v + w) u + (−u) = 0

α (βv) = (αβ) v α (u + v) = αu + αv
(α + β) v = αv + βv
1v = v

Exemplo 2 Se u = (2, −3), v = (−1, 4) e w = (1, 0) ent˜ao
2u + v − 3w = 2 (2, −3) + (−1, 4) − 3 (1, 0)
= (4, −6) + (−1, 4) − (3, 0)
= (4 − 1 − 3, −6 + 4 − 0)
= (0, −2)
1
Exemplo 3 Sendo u = (3, −1) e v = (−2, 4), determinar o vetor x tal que 3x + 2u + v + x.
2
1
3x + 2u = v + x ⇒ 6x + 4u = v + 2x ⇒ 6x − 2x = v − 4u ⇒ 4x = v − 4u
2
1
1
1
⇒ x = (v − 4u) ⇒ x = v − u ⇒ x = (−2, 4) − (3, −1)
4
4
4
1
1
7
⇒ x = − , 1 − (3, −1) ⇒ x = − − 3, 1 + 1 ⇒ x = − , 2
2
2
2

−
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−
−
Exemplo 4 Sendo v = (10, 2), → v1 = (3, 5) e → v2 = (−1, 2), encontrar a1 , a2 ∈ R tais que v = a1 → v 1 + a2 → v2 .
→
−
→
− v = a1 v1 + a2 v2 ⇒ (10, 2) = a1 (3, 5) + a2 (−1, 2)
⇒ (10, 2) = (3a1 , 5a1 ) + (−a2 , 2a2 ) = (3a1 − a2 , 5a1 + 2a2 )