TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO E CIRCULO DE MOHO

UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
ENGENHARIA CIVIL

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

RIO DE JANEIRO – DEZ/2012
FONTES GERADORAS DE CORRENTE ALTERNADA E SUA IMPORTÂNCIA

Transformação de Tensão no Plano

Dado um certo estado de tensões num ponto, associado a um dado sistema de coordenadas, é importante que se determine os valores destas mesmas tensões caso o sistema de coordenadas associado seja alterado. Na figura abaixo isto é representado através de um “quadrado infinitesimal” (na verdade um “cubo infinitesimal”) associado a um sistema de coordenadas xy e um sistema rotacionado de um ângulo θ, x’y’. A pergunta que deve ser feita aqui é quanto devem valer as tensões normais, σx e σy, e tangenciais,τxy, originalmente associadas ao quadrado infinitesimal do sistema de coordenadas xy quando o quadrado infinitesimal estiver associado ao sistema de coordenadas x’y’, rotacionado de um ângulo θ.

De forma a responder esta questão, ao invés de se trabalhar com o quadrado (cubo) infinitesimal, é mais conveniente cortar um triângulo como abaixo, ou seja, tendo-se a sua hipotenusa alinhada com a direção y’ do sistema de coordenadas rotacionado, no sentido anti-horário, do ângulo θ. Nesta face, devem estar associadas a tensão normal σx’ e a tensão tangencial τx’y’. Como o estado de tensões está em equilíbrio, as forças associadas a todas as tensões têm que se equilibrar também nas direções x’ e y’. É necessário, portanto, que se passe as tensões para forças, multiplicando-as por suas áreas de atuação. Sendo a área da hipotenusa do triângulo adotada como ∆A, a área dos catetos devem valer, por conseguinte, ∆Acosθ e ∆Asinθ.

Sabendo-se as forças que atuam em cada face do triângulo (prisma de base triangular), pode-se proceder com a determinação das equações de equilíbrio em cada direção transformada. Para a direção x’ tem-se que:

ou seja:

Para a direção x’y’