transformada de la place

A Transformada de Laplace

2. A Transformada de Laplace
2.1 O Diálogo

Napoleão Bonaparte (1769 – 1821)

Pierre Simon Laplace (1749 – 1827)

Escreveste esta enorme obra sobre os mistérios

Senhor! Não senti necessidade desta hipótese.

do universo sem mencionar uma única só vez o nome de Deus, Seu edificador?

A Transformada de Laplace é uma poderosa ferramenta da matemática que pode ser utilizada para resolvermos as tais Equações Diferenciais apresentadas na aula anterior. O criador dessa ferramenta foi o francês
Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827) cuja humildade nos inícios de seus estudos pode ser observada na carta descrita abaixo:

Como pode-se observar no diálogo entre Laplace e Napoleão Bonaparte (no início do capítulo) parece que essa humildade não durou muito tempo.
Histórias a parte, vejamos qual foi a grande ideia de Laplace.

Para calcular algumas transformadas requer lembrar o método da integração por partes: ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

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A Transformada de Laplace

2.2 A Grande Ideia
A Transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática que tem como principal objetivo facilitar a resolução das chamadas Equações Diferenciais (equações que envolvem a derivada de uma função desconhecida) transformando-as em uma Equação Algébrica de fácil solução. A grande ideia de Laplace foi multiplicar a equação diferencial pelo fator de integração: e-st.

2.3 Cálculo da Transformada de Laplace
Dada uma função f(t) no domínio do tempo, a sua Transformada de Laplace será uma nova função F(s) denotada e definida por:
∞

𝓛{f(t)} = F(s) = ∫𝟎 𝒇(𝒕)𝐞−𝐬𝒕 𝐝𝒕
Exemplo. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
a)

f(t) = 1 (função degrau)

b) f(t) = t (função rampa)
c)

f(t) = eat

Observação.
Utilizando-se do mesmo procedimento pode-se obter uma tabela de transformadas. f(t) 𝓛{f(t)} = F(s)

1

𝟏
𝒔

t

𝟏
𝒔𝟐

tn , n = 0, 1, 2, 3, ... eat sen(at) cos(at) 𝒏!
𝒔𝒏+𝟏
𝟏
𝒔−𝒂
𝒂
𝟐
𝒔 + 𝒂𝟐
𝒔
𝟐
𝒔 + 𝒂𝟐

Para calcular algumas transformadas