03 - Transformada de La Place

Aula 03 – Transformada de Laplace

INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE / TEORIA DE CONTROLE

AULA 03 – TRANSFORMADA DE LAPLACE

Nesta aula iremos apresentar uma breve teoria sobre a Transformada de Laplace. Uma das principais utilidades da transformada de Laplace é facilitar a resolução de equações diferenciais, uma vez que estas são transformadas em equações algébricas por meio dessa ferramenta matemática. A Transformada de Laplace também nos auxiliará a analisar a estabilidade de sistemas dinâmicos, sendo possível prever a o desempenho do sistema sem resolver a equação diferencial responsável pela modelagem do sistema dinâmico.
1.

DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Dada uma função f  t  , define-se:


L  f  t   F  s    e  st f  t  dt

(1)

0

onde, L  f  t  representa a Transformada de Laplace.
EXEMPLO 1: Obtenha a transformada de Laplace de f  t   e at para t  0 :




L  f  t   F  s    e e dt   e
 st  at

0

0

  s  a t

e  dt   sa  s a t




0

1 sa No estudo de sistemas de controle, algumas funções normalmente aparecem frequentemente, na
Tabela 1 as funções mais usuais são apresentadas com o objetivo de se tornar um material de consulta e referência rápida. Obs.: Em nossos exercícios apenas utilizaremos as Tabelas 1 e 2.
Tabela 1 : Pares de Transformada de Laplace

Função f  t 

Função F  s 

 t 

1

1 t 

1 s sen t

t

1 s2 cos t

Função f  t  t n e at

1

n  1,2 , 

Função F  s 

n!

 s  a n 1

s  2
2

s s  2
2

Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira

Aula 03 – Transformada de Laplace

t n 1
n  1 !

n  1,2 , 

tn

e at

t n 1 e at
n  1 !





1 at  1  e at a2  at

e

1
1  e at a 





1 

  arc tg



1 

2

 s  a  s  b 



s2 s2  2

s

 2

2



2

s

s