Trabalho

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Máximos e
Mínimos de
Funções de duas
Variáveis

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Máximos e mínimos:

Professora: Sandra Tieppo
Unioeste – Cascavel
Julho/2012

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Máximos e mínimos:

Máximos e mínimos:
Se f tiver um máximo ou mínimo relativo em (x0, y0) dizemos que a função tem um extremo relativo em
(x0, y0) e se f tiver um máximo ou mínimo absoluto em
(x0, y0) dizemos que a função tem um extremo absoluto em (x0, y0)
Questões de interesse?
Há algum extremo relativo ou absoluto?
Se houver, onde estão localizados?

Para funções de uma variável, contínuas em um intervalo fechado, o teorema do valor extremo garante a existência dos extremos absolutos.
Para funções de duas variáveis...

Máximos e mínimos;
Importante: Se qualquer uma das condições do teorema do valor extremo não for satisfeita, então não há garantias da existência de extremos absolutos na região
R. Assim, uma função descontínua em R não precisa ter extremo absoluto, e uma função contínua sobre um conjunto que não é fechado e limitado tampouco precisa ter extremos absolutos.

Exemplos:

Região limitada e fechada: é o conjunto de pontos do interior de uma região mais os pontos do contorno.

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Determinação dos extremos relativos:
Lembre-se que se uma função g de uma variável tiver um extremo relativo em um ponto x0 em que g é diferenciável, então g’(x0) = 0.
Analogamente, suponha que f(x,y) tenha um máximo relativo em (x0, y0) e que as derivadas parciais de f existam em (x0, y0). Geometricamente, os traços da superfície z = f(x,y) sobre os planos x = x0 e y = y0 tenham tangentes horizontais em (x0, y0), logo fx (x0, y0) = 0 e fy (x0, y0) = 0 (Vejamos gráfico a seguir.)
O mesmo é válido para mínimo relativo.
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Porém, a função ter derivadas parciais nulas em um ponto não garante que este seja um extremo relativo. É o caso do ponto de sela, que veremos adiante.

Ponto crítico:

Exemplos:

Exemplos:
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A primeira função tem mínimo absoluto e relativo em