trabalho

Aula 14
Taxas relacionadas. Diferenciais
14.1

Taxas relacionadas

Na linguagem do c¶lculo diferencial, se uma vari¶vel u ¶ fun»~o da vari¶vel v, a taxa a a e ca a du de varia»~o (instant^nea) de u, em rela»~o a v, ¶ a derivada ca a ca e
.
dv
Em v¶rias problemas de c¶lculo, duas ou mais grandezas vari¶veis est~o relaa a a a cionadas entre si por uma equa»~o. Por exemplo, na equa»~o v1 =v2 = (sen µ1 )=(sen µ2 ), ca ca temos quatro vari¶veis, v1 , v2 , µ1 e µ2 , relacionadas entre si. a Se temos vari¶veis, digamos u, v e w, relacionadas entre si por uma equa»~o, a ca podemos ainda ter as tr^s como fun»~es de uma unica vari¶vel s. Por deriva»~o impl¶ e co
¶
a ca ³cita, ou µs vezes, por deriva»~o em cadeia, podemos relacionar as v¶rias derivadas du , dv e a ca a ds ds dw du dv
, ou ainda, por exemplo, dv , dw , etc. Problemas em que duas ou mais grandezas ds vari¶veis est~o inter-relacionadas, e nos quais s~o levadas em conta as taxas de varia»~es a a a co instant^neas, de algumas grandezas em rela»~o a outras, s~o chamados, na literatura a ca a do c¶lculo, de problemas de taxas relacionadas. a Exemplo 14.1 Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura H e raio do topo circular igual a R. Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque come»a a encher-se c de ¶gua, a uma vaz~o constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que a a sobe o n¶ da ¶gua (dh=dt), em fun»~o da profundidade h. Com que velocidade a
³vel
a ca ¶gua sobe no instante em que h = 0 ? a 1
Solu»~o. O volume da ¶gua quando esta tem profundidade h ¶ dado por V = 3 ¼r2 h, ca a e sendo r o raio da superf¶ (circular) da ¶gua. Veja ¯gura 14.1.
³cie
a

Sendo R o raio do topo da caixa, e H sua altura, por raz~es de semelhan»a de o c tri^ngulos, temos r=R = h=H, da¶ r = Rh=H. a ³

117

118

Taxas relacionadas. Diferenciais

R

R

H

r

H

r

h

h

Figura 14.1.
Assim sendo, obtemos
1