trabalho

3.

Limites
Ao trabalhar com uma função, nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição

de existência), afinal, só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua expressão matemática, portanto, tenha significado. Todavia, em muitos casos, é importante saber como a função se comporta quando a variável está muito próxima de um ponto que não pertence ao seu domínio. E para este estudo, nos valemos da teoria de limites, a qual permite a análise de uma função em uma vizinhança muito próxima de um ponto, sem se preocupar com o valor da função neste ponto. Este conceito será ilustrado nos exemplos abaixo:
a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x) =
-0,5

x

-0,01

sen( x) quando x está muito próximo de 0: x -0,0001

0,0001

f(x) 0,95885 0,99998 0,9999998

0,01

0,5

0,9999998 0,99998 0,95885

Observamos que quando x se aproxima de 0 (ou x “tende” a 0, ou x → 0 ) tanto pela esquerda quanto pela direita, f(x) se aproxima de 1 ( f ( x) → 1 ). Vejamos o gráfico: y 1

x
−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

Observe que o programa utilizado desenha o gráfico de f como se tivéssemos f(0) = 1, porém sabemos que ± f(0) (mais uma vez, cuidado ao utilizar o computador para fazer gráficos).

b)

Observemos agora a função f ( x ) =

x

1,5 1,9 1,999

f(x) -2

1
, quando x → 2 : x−2 1,99999

-10 -1.000 -100.000

2,00001 2,001 2,1 2,5
100.000 1.000 10

2

48

Note que quando x → 2 pela direita (ou seja, x > 2), f(x) cresce infinitamente de modo positivo e quando x → 2 pela esquerda (ou seja, x < 2), f(x) decresce infinitamente de modo negativo.
Vejamos o gráfico:
5

y

4
3
2
1
x
−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

−1
−2
−3
−4
−5

Conceito de limite: Se f(x) se aproxima de um número L quando x se aproxima de um número c, tanto pela esquerda ( x → c − ) como pela direita ( x → c + ), então L é o limite de f(x) quando x tende a c, o