TRABALHO SOBRE EQUAÇÃO BIQUADRADA

Equação biquadrada
Toda equação tem uma forma geral que a representa, as equações biquadradas possuem a seguinte forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Sendo que a, b e c podem assumir qualquer valor real desde que a seja diferente de zero. Veja alguns exemplos de equações biquadradas.

2x4 + 5x2 – 2 = 0; a = 2, b = 5, c = -2

-x4 – x = 0; a = -1, b = -1, c = 0

x4 = 0; a = 1, b = 0, c = 0

Observando as equações biquadradas percebemos uma de suas características: são equações onde os expoentes das suas incógnitas são sempre pares.

Para resolver esse tipo de equação é preciso substituir as incógnitas, tornando-a uma equação do segundo grau, veja os exemplos abaixo e compreenda como resolver passo a passo uma equação biquadrada.

Exemplo 1:

Resolva a equação biquadrada (x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0. Devemos organizá-la primeiro, ou seja, tirar os parênteses e unir os termos semelhantes.

(x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0 x4 – 12x2 – x2 + 12 + 24 = 0 x4 – 13x2 + 36 = 0

Agora devemos substituir a incógnita x2 por y.

x2 = y

x4 – 13x2 + 36 = 0 x2 . x2 – 13x2 + 36 = 0

y2 – 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau encontraremos como resultados de y’ e y’’ respectivamente os valores 9 e 4, como a incógnita da equação biquadrada é x, substituímos os valores de y na igualdade x2 = y e obteremos os respectivos valores de x.

Para y = 9 x2 = y x2 = 9 x = ±√9 x = ± 3

Para y = 4 x2 = y x2 = 4 x = ±√4 x = ±2

Portanto, a solução dessa equação biquadrada será {-3, -2, 2, 3}.

Exemplo 2:
Resolva a equação x4 – 5x2 + 10 = 0

Substituindo a incógnita x2 por y.

x2 = y

y2 – 5y + 10 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau o valor do discriminante ∆ será negativo, assim a solução será vazia.

Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos: y2 - 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos: y'=4 e y''=9
Como x2= y, temos:

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.