trabalho de otimizaçao

Embrulho de presente em forma de uma pirâmide

DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

O dia dos namorados está para chegar e Jorge pretende presentear sua namorada e ao mesmo tempo fazer uma brincadeira. Ele vai dar um pequeno presente para ela, porém, em um embrulho muito maior que o presente. O embrulho que o rapaz ira fazer é uma pirâmide regular de base quadrada, conforme mostra a figura 1. O material usado para a confecção do embrulho é uma folha de papelão quadrada, Jorge ira recortar triângulos isósceles das laterais da folha e dobra as pontas restantes para cima, formando a base quadrada e as 4 laterais triangulares. Para que o volume da pirâmide seja o maior possível, qual deve ser o valor de x (metade da diagonal do quadrado), sabendo que a altura do triângulo é 2m?

FIGURA 1 Pirâmide de base quadrada.

SOLUÇÃO DO PROBLEMA
Considerando uma pirâmide de altura H e aresta da base L (figura 2) temos que sua área total é dada pela sua área da base mais área lateral e o volume é dado pela área da base vezes a altura.

FIGURA 2 Volume da pirâmide e suas especificações (fora de escala).

Assim, temos:

Pela definição de Pitágoras, temos que:

Substituindo a segunda equação na primeira, temos:

Encontrando os pontos críticos:

Agora devemos avaliar se o ponto crítico é um máximo global. Para isso podemos jogar valores que estejam antes dos pontos encontrados e outros que estejam após os pontos (faz-se isso para cada ponto) e, assim, encontraremos a forma da concavidade (para cima é um ponto de mínimo e para baixo, de máximo) ou então fazer o teste da segunda derivada. Optamos pela substituição dos valores:

Com isso podemos notar que o ponto de máximo é L=4, ou seja, o volume é máximo quando L=4 m, pois a derivada passou de positiva para negativa.
Já que L não pode assumir valores negativos por se tratar do valor de um lado, o gráfico fica assim:

FIGURA 3 Relação entre o volume V e a aresta da base L da pirâmide.

O problema