Trabalho de matemática

[pic]

Juscimara Severino Botelho Miquetti

MATRIZ JACOBIANA

Taguatinga –DF

2012

INTRODUÇÃO

Matriz Jacobiana

A matriz jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferençável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa ser diferençável para a existência da jacobiana, basta que as derivadas parciais existam.

Definição Formal

Seja [pic], ou seja, uma função que denominaremos “F”, com domínio e imagem no espaço euclidiano n e m dimensional, respectivamente. Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função [pic].

As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é denominada Matriz Jacobiana. Assim, a Jacobiana é definida como:

[pic]Matriz de m linhas e n colunas. A primeira linha representa as derivadas parciais da função [pic] em relação a todos os x(de [pic] a [pic]). A segunda linha representa as derivadas parciais de [pic](também em relação a todos os x), e assim por diante, até a linha de número m, que representa as derivadas parciais de [pic]em relação a todos os [pic].

Notação:

A Jacobiana é representada por [pic] ou [pic]. A K.ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de [pic].

Determinante Jacobiano:

O Jacobiano é definido como sendo o determinante da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.

Exemplo 1: Seja F(x,y) = (x² + y², xy). Aqui, [pic]= x² + y² e [pic]= xy. A Matriz Jacobiana de F é [pic](x,y) = [pic]. O determinante Jacobiano é 2(x² - y²).

Exemplo 2: vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas