Trabalho de matemática

Fatora¸˜o ca ´
MODULO 1 - AULA 5

Aula 5 – Fatora¸˜o ca Fatorar ´ transformar uma soma ou diferen¸a de duas ou mais parcelas e c como produto de dois ou mais fatores. Por exemplo, a express˜o cx + cy ´ a e equivalente ` express˜o fatorada c(x + y ). Note que, cx + cy = c(x + y ). a a
A seguir vamos trabalhar algumas t´cnicas b´sicas de fatora¸˜o, entre e a ca as quais, fator comum, agrupamento, diferen¸as de quadrados, quadrado c perfeito, soma e diferen¸a de cubos e cubo perfeito. c Primeiro caso: Fator Comum
a) ac + ad = a(c + d), a ´ fator comum de ac e ad e b) 2x2 − 3xy = x(2x − 3y ), x ´ fator comum de 2x2 e 3xy e c) 36x2 y 2 − 48x3 y 4 = 12x2 y 2 3 − 4xy 2 , 12x2 y 2 ´ fator comum de 36x2 y 2 e e 48x3 y 4 .
d) 3x2 + 6x3 + 12x4 = 3x2 1 + 2x + 4x2 , 3x2 ´ fator comum dos trˆs e e termos. Segundo caso: Agrupamento
a) ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d)
b) ab + ac − b − c = a(b + c) − 1(b + c) = (b + c)(a − 1)
c) 6x2 − 4ax − 9bx + 6ab = 2x(3x − 2a) − 3b(3x − 2a) = (3x − 2a)(2x − 3b)
d) ab + a − b − 1 = a(b + 1) − 1(b + 1) = (b + 1)(a − 1)
Terceiro caso: Diferen¸a de Quadrados c A diferen¸a entre dois quadrados a2 − b2 ´ igual ao produto da soma c e a + b pela diferen¸a a − b. Assim, c a2 − b2 = (a + b)(a − b) .
A justificativa ´ que: e (a + b)(a − b) = a(a − b) + b(a − b) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2 .

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CEDERJ

Fatora¸˜o ca Veja alguns exemplos:
Exemplo 1
a) a2 − 16 = a2 − 42 = (a + 4)(a − 4)
b) 81 − m6 = 92 − m3

2

= 9 + m3 9 − m3

c) 4 − (x − y )2 = (2 + x − y )(2 − (x − y )) = (2 + x − y )(2 − x + y )
Quarto caso: Quadrado Perfeito
O desenvolvimento da express˜o (a + b)2 , resulta no quadrado da pria
2
meira parcela, a , somado com o dobro do produto das duas parcelas, 2ab, somado com o quadrado da segunda parcela, b2 , portanto,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
A justificativa ´ que: e (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a2 +ab+ba+b2 = a2 +ab+ab+b2 = a2