Trabalho de engenharia civil

Universidade Anhanguera-Uniderp

Álgebra Linear – Engenharia Civil – 1º semestre

Prof. Rosilene Fernandes Volume de Sólidos de Revolução

Aplicações das Integrais Definidas

Volume de sólidos de revolução

Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades (a) e (b) a seguir é um sólido:
a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices.
b) S é uma região limitada.

Sólidos de Revolução - Método do Disco
Dada uma região [pic] plana e uma linha reta, ou eixo, que pode tocar (a) ou não (b) em [pic] e que esteja no mesmo plano de [pic]. Girando-se [pic] em torno deste eixo, forma-se um região no espaço tridimensional denominada sólido de revolução.

Girando o gráfico de uma função [pic] tem-se:

Exemplo: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função [pic], no intervalo [pic].

[pic]

Exemplo 1: Achar o volume gerado pela função [pic] em [pic]

[pic]

[pic]

[pic] que é o volume da esfera gerada!
Exemplo 2: Uma região plana pode ser girada em torno do eixo [pic] ao invés do eixo [pic], e novamente um sólido de revolução será gerado.

V = [pic]= ([pic] que é o volume do sólido

Exemplo 3: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4].

[pic]

[pic]

O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este método surge quando a área de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que f(x) > g(x), para todo x([a,b].

O elemento de volume do anel é dado por:
[pic]
de forma que o volume