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Equações diferenciais de ordem 2
São equações do tipo : F(x,y,y’,y”)=0. Estudaremos somente aquelas que podem ser colocadas na forma y”=f(x,y,y’). isto é, podemos isolar a derivada de maior ordem y”).
Equações diferenciais lineares de ordem 2.
São do tipo: y”+p(x)y’+q(x)y=g(x), onde p(x), q(x), g(x) são funções contínuas em
Se g(x)=0 temos uma equação linear homogênea ou incompleta, caso contrário será chamada nãohomogênea ou completa. As funções p(x) e q(x) são chamadas coeficientes da equação. Caso p(x) e q(x) sejam constantes dizemos que temos uma equação linear com coeficientes constantes.
Exemplos:
1)
2)
3)
Toda equação diferencial de ordem 2, que não puder ser colocada na forma y”+p(x)y’+q(x)y=g(x) é dita não linear.
Soluções fundamentais da equação linear de ordem 2.
Seja a equação diferencial linear homogênea y”+p(x)y’+q(x)y=0, onde p(x) e q(x) são funções contínuas no intervalo
.
Resultado 1: Se y1(x) e y2(x) são duas soluções particulares de y”+p(x)y’+q(x)y=0, então a combinação linear y(x)=C1y1(x)+ C2y2(x) com C1 e C2 constantes também é solução.
Prova: Se y1(x) é solução de y”+p(x)y’+q(x)y=0, então y1”+p(x)y1’+q(x)y1=0 . Do mesmo modo sendo y2(x) uma solução de y”+p(x)y’+q(x)y=0, tem-se y2”+p(x)y2’+q(x)y2=0. Substituindo y(x)=C1y1(x)+
C2y2(x) em y”+p(x)y’+q(x)y=0 temos: y”+p(x)y’+q(x)y=( C1y1+ C2y2)”+p(x)( C1y1+ C2y2)’+q(x)( C1y1+ C2y2)= C1 (y1”+ p(x)y1’+q(x) y1)+ C2 (y2”+ p(x)y2’+q(x) y2)= C1.0+ C2.0=0. (O resultado é conhecido também como princípio da superposição).
Definição: duas soluções y1(x) e y2(x) da equação y”+p(x)y’+q(x)y=0 são ditas linearmente independentes (l.i) no intervalo [a,b] se o quociente neste intervalo. Caso contrário y1(x) e y2(x) serão linearmente dependentes (l.d). são soluções da equação y”-y=0. Observe que

Exemplo: Sabe-se que as funções
Já

Definição: Dada as funções y1(x) e y2(x), o determinante é chamado Wronskiano das funções y1(x) e y2(x).
Exemplo: Se

, então

Resultado 2: Se as