Teste resolvido topicos de matematica

Universidade do Minho
Departamento de Matem´tica e Aplica¸oes a c˜

Licenciatura em Ciˆncias da Computa¸˜o e ca
2011/2012

T´picos de Matem´tica o a primeiro teste - uma proposta de resolu¸˜o :: 30 de novembro de 2011 ca

vers˜o A a exerc´ ıcio 1. Indique quais das seguintes f´rmulas s˜o tautologias (T) e quais n˜o s˜o tauo a a a tologias (N). T 2 x 2 N x 2 x (p ⇔ ¬p) ∧ (q ∨ ¬q) (¬p ∧ (p ∨ q)) ⇒ q ¬(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

exerc´ ıcio 2. Considere a f´rmula ϕ : (¬q ⇒ r) ⇒ (p ∧ (q ∨ ¬r)). Indique quais das seguintes o condi¸oes s˜o necess´rias para que ϕ tenha um valor l´gico verdadeiro (N) e quais s˜o sufic˜ a a o a cientes (S). N x 2 x S 2 x 2 r ⇒ q tem valor l´gico verdadeiro. o p ∧ q ∧ r tem valor l´gico verdadeiro. o ¬p ∧ r tem valor l´gico falso. o

exerc´ ıcio 3. Considere a seguinte proposi¸ao, em que o universo de cada uma das quanc˜ tifica¸oes ´ um subconjunto U de N0 : c˜ e p: ∀x∀y∀z (xy = xz) ⇒ (y = z)

Indique para quais dos seguintes universos de quantifica¸ao a proposi¸˜o p ´ verdadeira (V) c˜ ca e e para quais ´ falsa (F). e V x 2 x F 2 x 2 U = {n ∈ N : n ´ ´ e ımpar} U = {0, 2, 4, 6, 8, 10} U = {x ∈ N : x2 + 4 = 0}

exerc´ ıcio 4. Considere a seguinte proposi¸ao, em que o universo de cada uma das quanc˜ tifica¸oes ´ o conjunto dos n´meros reais: c˜ e u q: ∀x∀y(y > x ⇒ ∃z : x + z < y)

Indique quais das seguintes proposi¸oes s˜o equivalentes a nega¸˜o da proposi¸˜o q (E) e c˜ a ` ca ca quais n˜o s˜o equivalentes (N). a a E x 2 2 N 2 x x ∃x∃y (y > x ∧ (∀z, x + z ≥ y)) ∃x∃y (y ≤ x ⇒ (∀z, x + z ≥ y)) ∃x∃y (y ≤ x ∨ (∃z : x + z < y))

exerc´ ıcio 5. Considere o conjunto A = {1, {1}, {2, 1}, (1, 2)}. Indique quais das seguintes afirma¸oes s˜o verdadeiras (V) e quais s˜o falsas (F): c˜ a a V 2 x x F x 2 2 (2, 1) ∈ A {1} ∈ A e {1} ⊆ A {1, 2} ∈ A ou {1, 2} ⊆ A

vers˜o B a exerc´ ıcio 1. Indique quais das seguintes f´rmulas s˜o tautologias (T) e quais n˜o s˜o tauo a a a tologias (N). T x 2 x N 2 x 2 (p ⇔ ¬p) ∨ (q ∨ ¬q) ¬(p ⇒ q) ⇔ (¬p ⇒ ¬q) (¬q ∧