TESTE 05

CAPÍTULO

1

G RÁFICOS
1.1

M ÉTODO PARA O ESBOÇO DE GRÁFICOS

Nessa seção, vamos apresentar um método para o esboço do gráfico de funções cuja segunda derivada é contínua na reta toda. Cada etapa será ilustrada aplicando o método à seguinte função f (x) = −xe −x
Para determinar o esboço do gráfico nos intervalos onde f , f ′ e f ′′ não mudam de sinal, vamos utilizar a tabela dada pela Figura 1.1, obtida considerando a posição em relação ao eixo das abscissas, o crescimento e a concavidade.
(1) Determine os limites de f no infinito:
H − = lim f (x)

e

H + = lim f (x)

e

x→−∞

H+ = 0

x→∞

No nosso exemplo, temos que
H− = ∞ i Capítulo 1. Gráficos

ii

Figura 1.1: Possibilidades de sinais e esboços de gráficos
(2) Obtenha as expressões de f ′ (x)

e

f ′′ (x)

e

f ′′ (x) = (2 − x)e −x

No nosso exemplo, temos que f ′ (x) = (x − 1)e −x

(3) Obtenha os seguintes pontos notáveis de f :
Raízes:

f (r ) = 0

Críticos:

f ′ (c) = 0

Degenerados:

f ′′ (d ) = 0

No nosso exemplo,
Raízes:
Críticos:

−r e −r
(c − 1)e

Degenerados: (2 − d )e

= 0, r = 0

−c

= 0, c = 1

−d

= 0, d = 2

1.1. Método para o esboço de gráficos

iii

(4) Determine o sinal de f , f ′ , f ′′ . f : uma vez que f não muda de sinal entre duas raízes consecutivas, basta determinar o sinal de f num ponto teste em cada intervalo determinado pelas raízes. No nosso exemplo, f (−1) = e > 0

e

f (1) = −e −1 < 0

como ilustrado pela Figura 1.2.

Figura 1.2: Sinal de f f ′ : uma vez que f ′ não muda de sinal entre dois pontos críticos consecutivos, basta determinar o sinal de f ′ num ponto teste em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. No nosso exemplo, f ′ (0) = −1 < 0

e

f ′ (2) = e −2 > 0

como ilustrado pela Figura 1.3.

Figura 1.3: Sinal de f ′ f ′′ : uma vez que f ′′ não muda de sinal entre dois pontos degenerados consecutivos, basta determinar o sinal de f ′′ num ponto teste em cada