teoria dos numeros

Teoria dos N´ meros u Livro a ser adotado
Burton, Numbers Teory
Niver, Zuckermam Montgomeny
Jos´ Plinio de Oliveira Santos, Introdu¸˜o a Teoria dos N´ meros. e ca u Parece que ´ da SBM e O Papa come¸ou a aula assim c 3
´ divis´ por 3. ⇐⇒ 3|n3 − n ? n ∈ Z
N , n ∈ Z. E ıvel Divisibilidade.
Dado a, b ∈ Z, dizemos que a divide b, ou que b ´ divis´ por a, ou e ıvel ainda, que b ´ multiplo de a, quando existe c ∈ Z, tal que b = a.c e Nota¸˜o: a|b (Lˆ-se a divide b) { tipo assim eu tava tao apressado que ca e b tava nem me tocando dumas coisas mas e tipo assim quando tem a|b = a ai tava umas partes misturadas na caderno da dayane e eu nem tinha prestado c˜ aten¸ao nuns detalhes tipo n tinha achado estranho pois era indetermina¸ao c˜ 0
0
a mas tipo tava n|0 ent˜o a fra¸ao era pra ser n como est´ agora} a c˜
Propriedades
1.

0 n 2.

a
,
a

e n , para qualquer n ∈ Z, pois n = o.n e n = n.1, n ∈ Z
1
a para qualquer a ∈ Z, pois a = a.1

b e a , ent˜o a = ±b, de fato, a =⇒ existe c ∈ Z tal que b = a.c e a b b =⇒ existe d ∈ Z tal que a = d.b. Logo a = (a.c).d =⇒ a = a(c.d). a a
Se a = 0 temos b = 0, pois a [ 0 =⇒ 0.c = 0]. Se a = 0 ent˜o a = b b a(c.d) =⇒ 1 = (c.d). Como c, d ∈ Z, temos c.d = 1 temos c = d = 1 ou c = d = −1. Assim, c = d = 1 =⇒ b = a, com c = d = −1 =⇒ b = −a

3. se

a b 4. a|1 =⇒ a = ±1
5. a|b e b|c =⇒ a|c
6.

a a
,
b c

=⇒

a.a
b.c

´
MAXIMO DIVISOR COMUM
Dados dois n´meros inteiros a e b, n˜o ambos nulos. u a
O n´mero d tal que: u 1.

a d e

b d 1

2. Se

a g b e g , ent˜o g ≤ d a ´ chamado de m´ximo divisor comun M.D.C de a e b e a
Nota¸ao: (a, b) = d c˜ Obs.: O mdc de 0e0 n˜o existe pois como todo inteiro divive 0, n˜o existe a a um maior divisor desse n´mero. u Obs2 .: O mdc de dois inteiros a e b ´ unico. De fato se d e d’ s˜o os e ´ a maiores divisores comuns de a e b, ent˜o d ≤ d e d ≤ d (por 2). Logo d = d
a