teoria dos numeros

Metas Curriculares do Ensino Básico
Matemática – 2.º Ciclo

António Bivar
Carlos Grosso
Filipe Oliveira
Maria Clementina Timóteo

Algoritmo de Euclides
(300 a.c.)
Descritores NO5-3.3, 3.4, 3.5, 3.6 e 3.7

Objetivo
Cálculo do máximo divisor comum (e do mínimo múltiplo comum) de dois números naturais, sem utilização da decomposição em fatores primos (6.º ano) e revendo o algoritmo da divisão.

Divisão inteira

Teorema
Dados a e b números naturais e d=mdc(a,b),

Algoritmo de Euclides

Teorema de Bezout
Se mdc(a,b)=1 existem inteiros x e y tais que ax+by=1 Lema de Euclides
Se a divide o produto bc e a é primo com b então a divide c.

Teorema fundamental da aritmética
(decomposição em fatores primos)

Cálculo do máximo divisor comum de dois números naturais.

Divisibilidade no 1.º ciclo
NO3 e NO4 Efetuar divisões inteiras
NO3-7.2 Utilizar corretamente a expressão «múltiplo de».
NO3-9.4 Utilizar corretamente as expressões «divisor de» e «divisível por» e reconhecer que um número natural é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.
NO3-9.5 Reconhecer que um número natural é divisor de outro se o resto da divisão do segundo pelo primeiro for igual a zero (e vice-versa)
NO4-2.5 Identificar os divisores de um número natural até 100.

720=90x8

2.º ciclo – Máximo divisor comum
NO3-9.5 Reconhecer que um número natural é divisor de outro se o resto da divisão do segundo pelo primeiro for igual a zero (e vice-versa).
NO4-2.5 Identificar os divisores de um número natural até 100.

NO5-3.2 Identificar o máximo divisor comum de dois números naturais por inspeção dos divisores de cada um deles.

Algoritmo de Euclides
NO5-3.3 Reconhecer que num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do produto.
NO5-3.4 Reconhecer que se um dado número natural divide outros dois, divide também a respetiva soma e diferença.
(Descritores que preparam o algoritmo, mas que têm um interesse em