Tabela de Séries

´
SERIE

TESTE

ˆ
CONVERGENCIA
ˆ ou DIVERGENCIA

´
COMENTARIOS

Diverge se lim an = 0

Inconclusivo

∞

an

Termo Geral

n→∞

n=1

se lim an = 0.
∞

ar

S´rie Geom´trica e e

n−1

n=1

a se |r| < 1.
Converge para s =
1−r
Diverge se |r| ≥ 1

∞

1 p n=1 n

S´rie-p e Converge se p > 1
Diverge se p ≤ 1

∞

∞

an , n=1 bn

(i) Se

∞

bn converge, ent˜o a an

n=1

Compara¸ao c˜ compara¸ao. c˜ ´
Util para testes de compara¸ao. c˜

∞

n=1

n→∞

´
Util para testes de

n=1

A s´rie de compara¸ao e c˜
∞

bn ´, em geral, s´rie e e

converge.
∞

an , bn > 0, an ≤ bn

n=1

∞

(ii) Se

an diverge, ent˜o a n=1

bn

geom´trica ou s´rie-p. e e

n=1

diverge.
∞

∞

Compara¸ao c˜ an , n=1 por Limite

n=1

an , bn > 0
∞

S´ries Alternadas e bn

(−1)n an

an
=k>0
bn
(i) as duas s´ries s˜o ambas e a convergentes ou divergentes.
Se lim

n→∞

an > 0

Aplic´vel somente a e se an ≥ an+1 ∀n.

as s´ries alternadas. e n→∞

∞

Absolutamente

∞

an n=1 |an | converge

Se n=1 Convergente

apenas os termos de an que tˆm maior efeito e sobre a magnitude.

Converge se lim an = 0

n=1

(Leibniz)

Para achar bn considere

´
Util para s´ries que e ∞

ent˜o a an converge.

tˆm termos positivos e n=1

e termos negativos.
∞

Raz˜o a an n=1 (D’Alembert)
∞

Ra´ ız an n=1 an+1
´
= L (ou ∞) a S´rie e Util se an envolve n→∞ an
(i) Converge (absolutamente) se L < 1. fatoriais ou
(ii) Diverge se L > 1 (ou ∞). potˆncias de grau n. e (iii) Inconclusivo se L = 1.
´
Util se an envolve
Se lim n |an | = L (ou ∞) a S´rie e Se lim

n→∞

(i) Converge (absolutamente) se L < 1. potˆncias de grau n. e (ii) Diverge se L > 1 (ou ∞).
(iii) Inconclusivo se L = 1.

(Cauchy)
∞

an

Integral

(i) Converge se

n=1

an = f (n)

(ii) Diverge